上极限和下极限

上极限和下极限的示意图。數列 x_n 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 x_n 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收敛

在微积分学中，上極限和下極限（英語：Limit superior and limit inferior）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 $\{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 的上極限為 1，下極限為 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

定义

序列$(x_{n})$的上极限定义是

$\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$；

或者

$\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)$。

同样的，序列$x_{n}$的下极限定义是

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$；

或者

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)$。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。 在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当$\liminf x_{n}$和$\limsup x_{n}$都存在，那么

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}$。

上极限和下极限也记为$\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}$和$\varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$。

实数数列

实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 $[-\infty ,+\infty ]$，形成完備格。那么在 $[-\infty ,+\infty ]$ 中数列 $(x_{n})$ 收敛当且仅当 $\liminf x_{n}=\limsup x_{n}$，而这时 $\lim x_{n}$ 等于上面的共同值。

若實數數列 $(x_{n})$ 的上極限為實數，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 $\epsilon$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\geq N$，都有 $x_{n}<a+\epsilon$。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_{n})_{n\geq N}$ 的上界。

若實數數列 $(x_{n})$ 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 $\epsilon$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 $n\geq N$，都有 $x_{n}>b-\epsilon$。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 $(x_{n})_{n\geq N}$的下界。

設 $(x_{n})$ 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 $\lfloor a\rfloor$ 也符合上述條件，故此 a 必是整數。在條件中取 $\epsilon <1$，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 $n\geq N$，都有 $x_{n}\leq a$。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 $x_{n}=a$。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 $x_{n}=b$。

若 $I=\liminf x_{n}$ 和 $S=\limsup x_{n}$ ，那么区间 $[I,S]$ 不一定包含任何的 $x_{n}$，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x_n。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子

• 設$x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$，則$\liminf x_{n}=-1$，$\limsup x_{n}=1$。閉區間[-1, 1]中不包含任何$x_{n}$。
• 考虑数列$x_{n}=\sin \!n$。应用π的无理数性质，可以证明$\liminf x_{n}=-1$和$\limsup x_{n}=+1$。

• 一个数论例子是

$\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})$

其中${p_{n}}$是第$n$个素数。

集的序列

集合X的冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若$X_{n}$是这样的序列，那么X的元素a属于$\liminf X_{n}$，当且仅当存在自然数$n_{0}$使得对于所有$n>n_{0}$，a在$X_{n}$裡。元素a属于$\limsup X_{n}$，当且仅当对所有自然数$n_{0}$，都存在一个指数$n>n_{0}$使得a在$X_{n}$裡。换句话说，$\limsup X_{n}$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合$X_{n}$裡；而$\liminf X_{n}$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在$X_{n}$裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

$\inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}$。

令$I_{n}$为自$X_{n}$起的集合的下确界。那么序列$I_{n}$非递减，因为$I_{n}\subset I_{n+1}$。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

$\liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)$。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

$\sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}$。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

$\limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)$。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

引用

• Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 

• González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.