不可數集

不可數集（英語：uncountable set）是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然數集之間要是不存在一個双射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。

定義

不可数集有许多等价的定義。一个集合$X$是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

• 不存在从$X$到自然数集合的单射函数。
• $X$的基数既不是有限的，又不等于$\aleph _{0}$（阿列夫-0，自然数集合的基数）。
• $X$的基数严格大于$\aleph _{0}$。

性质

• 如果不可数集$X$是集合$Y$的子集，则$Y$是不可数集。

例子

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合$\mathbb {R}$；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。$\mathbb {R}$的基数通常记为$c$、$2^{\aleph _{0}}$，或$\beth _{1}$。

康托尔集是$\mathbb {R}$的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（$\mathbb {R}$的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果$\mathbb {R}$的某個子集有严格大于零的豪斯多夫维，那麼它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从$\mathbb {R}$到$\mathbb {R}$的函数的集合。这个集合比$\mathbb {R}$更“不可数”，因为它的基数是$\beth _{2}$，它比$\beth _{1}$还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为$\Omega$或$\omega _{1}$。$\Omega$的基数记为$\aleph _{1}$。利用选择公理，可以证明$\aleph _{1}$是最小的不可数基数。于是，实数的基数$\beth _{1}$，要么等于$\aleph _{1}$，要么严格比它大。康托尔是第一个提出$\beth _{1}$是否等于$\aleph _{1}$的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。$\aleph _{1}=\beth _{1}$的陈述现在称为连续统假设，現已知道它獨立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。

参见

• 可数集
• 阿列夫数
• 自然数
• 单射函数

参考文献

• Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

外部链接

• 证明R是不可数集 （页面存档备份，存于互联网档案馆）