冯·诺伊曼全集[编辑]
外观
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在集合论和有关的数学分支中,冯·诺伊曼全集或冯·诺伊曼集合层次,是由所有集合組成的类,可以分成超限階级的个体集合(a transfinite hierarchy of individual sets)。
它可以用超限归纳法定义为如下:
- .
- 最后,设V是所有V-阶段的并:
- .
等价的说,对于任何序数α,设,这里的是X的幂集。
V和集合论
[编辑]如果ω是自然数的集合,则Vω是继承有限集合的集合,它是不带有无穷公理的集合论的模型。Vω+ω是普通数学的全集。它是Zermelo集合论的模型。如果κ是不可及基数,则Vκ是Zermelo-Fraenkel集合论自身的模型,而Vκ+1是Morse–Kelley集合论的模型。
注意所有个体阶段Vα都是集合,但是它们的并集V是真类。在V中的集合叫做继承良基集合;基础公理要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。(也有的公理系统忽略基础公理,或把基础公理替換為其強否定,如Aczel的反基础公理,不過這類系統很少被用到)。
给定任何集合A,使得A是某個Vα的子集的最小序数α是A的阶(或继承等级)。
哲学观点
[编辑]有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集V和ZFC的联系。粗略的说,形式主义者傾向於把V看作是从ZFC公理推出的某种东西(例如,ZFC证明了所有集合都在V中)。在另一方面,实在論者會把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西,而把ZFC公理看作在V中为真的命题,透過簡單論證(透過自然語言),可以使人信服它們的真確性。一个可能的中间立场是,冯·诺伊曼层次的形象化概念给ZFC公理提供了一个动机(所以這些公理不是任意提出來的),但這不意味ZFC公理確實有描述真实存在的对象。