位置的高階導數

物理学上，位置的高階導數，是位移对时间的四階以上對時間的导数；一阶、二阶、三阶、四阶导数分别称为速度、加速度、加加速度、加加加速度……。在英語中，位移对时间的四阶，五阶，六阶导数有时候有点滑稽地被稱为 "Snap," "Crackle" and "Pop"。

定義

四階導數被如下任意一个等价的公式定义：

${\vec {s}}={\frac {d{\vec {j}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}$

五階導數被如下任意一个等价的公式定义：

${\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}$

更高階的導數亦可依此類推。其中：

${\vec {c}}$ 是加加加加速度,

${\vec {s}}$ 是加加加速度,

${\vec {j}}$ 是加加速度,

${\vec {a}}$ 是加速度,

${\vec {v}}$ 是速度,

${\vec {r}}$ 是位移,

${\mathit {t}}$ 是时间。

匀加加加速运动公式

下列公式被用于加加加速度恒定的运动：

• $j=j.+st$
• $a=a.+j.t+{\frac {1}{2}}st^{2}$
• $v=u+a.t+{\frac {1}{2}}j.t^{2}+{\frac {1}{6}}st^{3}$
• $S=ut+{\frac {1}{2}}a.t^{2}+{\frac {1}{6}}j.t^{3}+{\frac {1}{24}}st^{4}$

其中：

${\vec {s}}$ 是恒定的加加加速度,

${\vec {j}}.$ 是初加加速度，

${\vec {j}}$ 是末加加速度，

${\vec {a}}.$ 是初加速度，

${\vec {a}}$ 是末加速度，

${\vec {v}}$ 是初速度，

${\vec {u}}$ 是末速度，

${\vec {S}}$ 是距离或位移，

${\vec {r}}$ 是位置，

${\mathit {t}}$ 是时间。

记号

目前没有通用的记号来表示這些高階导数。国际单位制中，加加加速度的单位是m/s⁴, m · s⁻⁴。符号 ${\vec {s}}$ (用于 ) 不可与可记作同个记号的位移向量混淆。

有关链接

• Cosmography: cosmology without the Einstein equations, Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.
• What is the term used for the third derivative of position?