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反推控制

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反推控制(backstepping)也稱為反演控制反步法,是一種控制理论的技術,在約1990年時由Petar V. Kokotovic英语Petar V. Kokotovic等人提出[1][2],針對特殊形式的非線性动力系统設計可以稳定系統的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成,最內層的子系統不可再簡化,可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的递归結構,設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點,反推新的控制器來穩定較外層的子系統,此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」[3]

反推控制的設計方式

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反推控制的設計方式可以針對嚴格回授型式英语strict-feedback form的系統,提供一種递归方式使其在原點可以稳定。考慮以下型式的动力系统[3]

其中

  • ,其中
  • 純量
  • u是系統的純量輸入
  • 原點數值為零(也就是說
  • 是在關注區域內不為零(也就是,在的情形下)

另外假設系統

在原點處有李雅普诺夫稳定性,可以用某種已知的控制方式使得。並且假設針對此穩定子系統,可以其李亞普諾夫函數 。因此x子系統可以由其他方式穩定,利用反推控制可以將其穩定性延展到在外圍的

x的穩定子系統外圍的嚴格回授型式系統

  • 反推控制的控制輸入u對狀態有最直接的穩定性效果。
  • 狀態的作用是在狀態之前的穩定性控制。
  • 此程序會繼續,使每一個狀態會都會被虛擬的控制信號所穩定。

反推控制會確認用要穩定x子系統的方式,接著再由下一個狀態來驅動狀態,使其產生可以穩定x的信號。因此此程序是從x的嚴格回授型式反推往外,一直到設計到最終的控制信號u

递归控制设计概述

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递归控制的作法如下

  1. 假設較小(低階)的子系統
    已經可以用一些控制方式穩定,此控制方式會符合的條件。意思是說,穩定此系統的,是用其他控制方式達成的。也假設已知此一穩定系統的李亞普諾夫函數 。反推控制可以將這個子系統的穩定性拓展到較大的系統。
  2. 會設計控制信號,使得系統
    穩定,讓依照想要的控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數(augmented Lyapunov function candidate)來設計
    此控制信號可以適當選擇,使可以遠離0
  3. 會設計控制信號,使得系統
    穩定,讓依照想要的控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數來設計
    此控制信號 可以適當選擇,使可以遠離0
  4. 會反覆此一程序,一直到其實際u已知為止,而且
    • 真實控制信號u會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
    • ...
    • 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號會使x穩定在原點。

此程序稱為反推(backstepping),因為是從內部穩定的子系統開始,漸漸反推到較外圍的系統,同時維持每一步的穩定性。因

  • 時為0
  • 不為0
  • 給定控制信號會滿足,

因此所得的系統在原點(, , , ..., )處穩定,是全域漸進穩定

相關條目

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參考資料

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  1. ^ Kokotovic, P.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive. IEEE Control Systems Magazine. 1992, 12 (3): 7–17. doi:10.1109/37.165507. 
  2. ^ Lozano, R.; Brogliato, B. Adaptive control of robot manipulators with flexible joints. IEEE Transactions on Automatic Control. 1992, 37 (2): 174–181. doi:10.1109/9.121619. 
  3. ^ 3.0 3.1 Khalil, H.K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002 [2020-02-26]. ISBN 978-0-13-067389-3. (原始内容存档于2017-07-25).