半單李代數

在數學中，單李代數是除了零和本身之外沒有其它理想的李代數。半單李代數是指能表為單李代數的直和的李代數。若一個李代數能表為半單李代數與阿貝爾李代數的直和，則稱之為約化李代數。半單李代數與約化李代數是李代數研究中的主要對象。

設 ${\mathfrak {g}}$ 為李代數，其半單性有下述刻劃：

• ${\mathfrak {g}}$ 能表為單李代數之直和。
• Killing 形式 $B(x,y):=\mathrm {Tr} (\mathrm {ad} X\,\mathrm {ad} Y)$ 非退化。
• ${\mathfrak {g}}$ 沒有非零的阿貝爾理想。
• ${\mathfrak {g}}$ 沒有非零的可解理想。
• $\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})=(0)$

此外，若 ${\mathfrak {g}}$ 定義在零特徵的域上，則可追加一項

• ${\mathfrak {g}}$ 半單若且唯若每個 ${\mathfrak {g}}$ 的表示都是完全可約的。

半單李代數的另一個重要性質是 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}$，其逆未必成立。

文獻

• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

參見

• 半單
• 單李群
• 半單李群
• 約化群