伯努利数

$n$	$B \pm n$
0	1
1	±1/2
2	1/6
3	0
4	−1/30
5	0
6	1/42
7	0
8	−1/30
9	0
10	5/66
11	0
12	−691/2730
13	0
14	7/6
15	0
16	−3617/510
17	0
18	43867/798
19	0
20	−174611/330

數學上，白努利數 $B n$ 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為：

B 0 = 1

,

B \pm 1 = \pm 1 / 2

,

B 2 = 1 / 6

,

B 3 = 0

,

B 4 = - 1 / 30

,

B 5 = 0

,

B 6 = 1 / 42

,

B 7 = 0

,

B 8 = - 1 / 30

.

上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在 $n = 1$ 時有所不同：

$B - n$ 表示第一白努利數 (A027641 / A027642)，由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定，在這標準下 $B - 1 = - 1 / 2$ .
$B + n$ 表示第二白努利數 (A164555 / A027642)，又被稱為是「原始的白努利數」^[1] ，在這標準下 $B + 1 = + 1 / 2$ .

由於對於所有大於 $1$ 的奇數 $n$ 白努利數 $B n = 0$ ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用" $B n$ "來代表 $B 2 n$ ，不過在本文中不會使用如此的簡寫。

等冪求和

伯努利數B_n是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中 $m, n \geq 0$ ：

S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +{n}^{m}

這數列和的公式必定是變數為 $n$ ，次數為 $m +1$ 次的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下：

S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},

其中 $(m + 1 k)$ 為二項式係數。

舉例說，把m取為1，我們有 $1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).$

伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。

伯努利數可以由下列遞歸公式計算：

\sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=m+1

，

初值條件為B₀ = 1，B₁ = 1/2。或者： $\sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=0$ ，

初值條件為B₀ = 1，B₁ = -1/2。

伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（e^x − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪級數的收斂半徑），有

{\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}

。

有時會寫成小寫b_n，以便與貝爾數分別開。

最初21項伯努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642。

可以證明對所有不是1的奇數n有B_n = 0。

數列中乍看起來突兀的B₁₂ = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的算法。

一些等式

歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}

。

在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是B_n/n。

伯努利數的算術性質

伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為B_n = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若c_n是B_n/2n的分子，那樣 $K_{4n-2}(\mathbb {Z} )$ 的階是−c_2n若n為偶數；2c_2n若n為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到B_n上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數B_n的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pB_p−1模p同餘於−1。

p進連續性

伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及 $m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1)$ ，那麼

(1-p^{m-1}){B_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}

。

因為 $B_{n}=-n\zeta (1-n)$ ，這也可以寫成

(1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}\,

，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉 $1-p^{z}$ 後，對適合模p − 1同餘於某個 $a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1$ 的負奇數上的p進數連續，因此可以延伸到所有p進整數 $\mathbb {Z} _{p}\,$ ，得出p進ζ函數。

伯努利數的幾何性質

在 $n\geq 2$ 時給出可平行流形邊界的怪（4n−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若B是B_4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是 $2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B$ 。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

參見

外部連結

^ A164555.

[1] A164555.

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