科恩系列分佈

科恩系列分佈（Cohen's class distribution）於1966年由L. Cohen首次提出，且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中，Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展，應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度，但也相對的有交叉項(cross-term)的問題，不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

數學定義

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,$ ，

其中 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }\,dt.$ 為模糊函數(Ambiguity Function) ，且$\Phi \left(\eta ,\tau \right)$為一遮罩函數，通常是低通函數用來濾除雜訊。

科恩系列分佈函數

韋格納分布(Wigner Distribution Function)

當Cohen's class分佈中的$\Phi \left(\eta ,\tau \right)=1$時，Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function)$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau$。

利用韋格納分佈對函數$x(t)=exp(j0.015t^{4}+j0.06t^{3}-j0.3t^{2}+jt)$作時頻分析的結果可見右圖。

錐狀分布(Cone-Shape Distribution)

當Cohen's class分佈中的$\phi (t,\tau )={\frac {1}{\left|\tau \right|}}exp(-2\pi \alpha \tau ^{2})\Pi ({\frac {t}{\tau }})$，且$\Phi \left(\eta ,\tau \right)=sinc(\eta \tau )exp((-2\pi \alpha \tau ^{2})$時，

其中$\phi (t,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )exp(j2\pi \eta t)d\eta$，Cohen's class分佈會成錐狀分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

喬伊-威廉斯(Choi-Williams)

當Cohen's class分佈中的$\Phi \left(\eta ,\tau \right)=exp[-\alpha (\eta \tau )^{2}]$時，Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

科恩系列分佈優缺點

優點:

1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題 。

2.具有高清晰度。

缺點

1. 需要較高的計算量與時間。

2. 缺乏良好的數學特性。

科恩系列分佈的實現

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi u\eta +j2\pi (\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

簡化方法一:不是所有的$A_{x}(\eta ,\tau )$的值都要計算出

對$\ \left|\eta \right|>B\$或$\ \left|\tau \right|>C$，若$\Phi (\eta ,\tau )=0$，則$C_{x}(t,f)=\int _{-C}^{C}\int _{-B}^{B}\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi u\eta +j2\pi (\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

簡化方法二:注意，$\eta$這個參數和輸入及輸出都無關

$C_{x}(t,f)=\int _{-C}^{C}\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})[\int _{-B}^{B}\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi ,\eta (t-u)}d\eta ]e^{-j2\pi \tau ,f}dud\tau$

$=\int _{-C}^{C}\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\Phi (\tau ,t-u)e^{-j2\pi \tau ,f}dud\tau$，其中

$\Phi (\tau ,t-u)=\int _{-B}^{B}\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi ,\eta (t-u)}d\eta$，由於$\Phi (\tau ,t-u)$和輸入無關，可事先算出，因此可簡化成兩個積分式。

簡化方法三:使用摺積方法(convolution)

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\phi (t-u,\tau )due^{-j2\pi f\tau }d\tau$，其中

$\phi (t,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )exp(j2\pi \eta t)d\eta$。對$\left|t\right|>b$或是$\left|\tau \right|>c$，則

$C_{x}(t,f)=\int _{-c}^{c}\int _{t-b}^{t+b}x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\phi (t-u,\tau )due^{-j2\pi f\tau }d\tau$，上式為一摺積式。

模糊函數 (Ambiguity Function)

模糊函數的定義為：

$A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\tfrac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt$

Modulation 和 Time Shifting 對模糊函數的影響

我們來看一下 $x(t)$ 對於模糊函數的影響

(1) 假設 $x_{1}(t)$ 是一個高斯函數: $ae^{-(t-b)^{2}/2c^{2}}$, 其中 $a=1,b=0,c={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha }}}$

那麼我們可以得到 $x_{1}(t)=e^{-\alpha \pi t^{2}}$, 代入模糊函數 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)$ 中：

$A_{x_{1}}\left(\eta ,\tau \right)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi {(t+{\tfrac {\tau }{2}})}^{2}}\ e^{-\alpha \pi {(t-{\tfrac {\tau }{2}})}^{2}}\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt$

$=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi (2t^{2}+{\tfrac {\tau }{2}}^{2})}\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt$

(2) 假設 $x_{2}(t)$ 是一個經過 shifting 和 modulation 的高斯函數:

那麼我們可以得到 $x_{2}(t)=e^{-\alpha \pi (t-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}t}$, 代入模糊函數 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)$ 中：

${\textstyle A_{x_{2}}\left(\eta ,\tau \right)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi {(t+{\tfrac {\tau }{2}}-t_{0})}^{2}+j2\pi f_{0}(t+{\tfrac {\tau }{2}})}\ e^{-\alpha \pi {(t-{\tfrac {\tau }{2}}-t_{0})}^{2}-j2\pi f_{0}(t-{\tfrac {\tau }{2}})}\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt}$

$=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi (2(t-t_{0})^{2}+{\tau /2}^{2})+j2\pi f_{0}\tau }\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt$

$=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi (2t^{2}+{\tfrac {\tau ^{2}}{2}})}\ e^{j2\pi f_{0}\tau }\ e^{-j2\pi t\eta }\ e^{-j2\pi t_{0}\eta }\ dt$

我們可以看到 $|A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right)|=|A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)|$,

因此我們可以得出 time shifting $t_{0}$ 和 modulation $f_{0}$ 並不會影響 $|A_{x}\left(\tau ,\eta \right)|$

積分後，$A_{x}\left(\tau ,\eta \right)={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha }}}e^{-\pi ({\tfrac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\tfrac {\eta ^{2}}{2\alpha }})}e^{j2\pi (f_{0}\tau -t_{0}\eta )}$

所以 $A_{x}\left(\tau ,\eta \right)$ 在 $\tau =0,\eta =0$ 的地方會有最大的 $|A_{x}\left(\tau ,\eta \right)|$

交叉項 Cross-term 問題

上述所列出來的是當 $x(t)$ 只有一項而已 (one term only)，如果 $x(t)$ 有兩項以上的元素構成 (more than two terms), $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+\cdot \cdot \cdot +x_{n}(t)$，依然會有交叉項 (cross-term) 的問題存在。

假設 $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ , 其中

${\begin{cases}x_{1}(t)=e^{-\alpha _{1}\pi (t-t_{1})^{2}+j2\pi f_{1}t}\\x_{2}(t)=e^{-\alpha _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t}\end{cases}}$

將 $x(t)$ 代入模糊函數 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\tfrac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt$ 中：

$A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{1}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{x_{1}}(\tau ,\eta )}+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{2}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{x_{2}}(\tau ,\eta )}$

$+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{2}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )}+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{1}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )}$

其中 ${\begin{cases}Auto-terms:\quad A_{x_{1}}(\tau ,\eta ),\ A_{x_{2}}(\tau ,\eta )\\Cross-terms:\ A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta ),\ A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )\end{cases}}$

Auto - terms

$A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right)={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{1}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\tfrac {\eta ^{2}}{2\alpha _{1}}})}\ e^{j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}\eta )}$

$A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{2}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\tfrac {\eta ^{2}}{2\alpha _{2}}})}\ e^{j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}\eta )}$

Cross - terms

(1) $\alpha _{1}\neq \alpha _{2}$

$A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )={\sqrt {\tfrac {1}{(\alpha _{1}+\alpha _{2})}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\tau -t_{1}+t_{2})^{2}}{4}}\ +\ {\tfrac {[(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\tau -t_{1}+t_{2})-j2(\eta -f_{1}+f_{2})]^{2}}{4(\alpha _{1}+\alpha _{2})}})}\ e^{j2\pi [({\tfrac {f_{1}+f_{2}}{2}})\tau -{\tfrac {t_{1}+t_{2}}{2}}\eta +{\tfrac {(f_{1}-f_{2})(t_{1}+t_{2})}{2}}]}$

$={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{u}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{u}(\tau -t_{d})^{2}}{2}}\ +\ {\tfrac {[\alpha _{d}(\tau -t_{d})-j2(\eta -f_{d})]^{2}}{8\alpha _{u}}})}\ e^{j2\pi (f_{u}\tau -t_{n}\eta +f_{d}t_{u})}$

$A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )=A_{{x_{1}}{x_{2}}}^{*}(-\tau ,-\eta )$

${\begin{cases}t_{u}={\tfrac {t_{1}+t_{2}}{2}},\ f_{u}={\tfrac {f_{1}+f_{2}}{2}},\ \alpha _{u}={\tfrac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\\t_{d}=t_{1}-t_{2},\ f_{d}=f_{1}-f_{2},\ \alpha _{d}=\alpha _{1}-\alpha _{2}\end{cases}}$

(2) $\alpha _{1}=\alpha _{2}$

$A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{u}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{u}(\tau -t_{d})^{2}}{2}}\ +\ {\tfrac {(\eta -f_{d})^{2}}{2\alpha _{u}}})}\ e^{j2\pi (f_{u}\tau -t_{n}\eta +f_{d}t_{u})}$

$A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )=A_{{x_{1}}{x_{2}}}^{*}(-\tau ,-\eta )$

因此，我們目前得到 $A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right),A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)$ (auto-terms) 和 $A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta ),A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )$ (cross-terms) 的公式，我們再仔細的分析 auto-terms 和 cross-terms 分別發生最大值的位置。

Ambiguity Function 分析圖

首先，先看 Auto-terms：

$|A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right)|$最大值發生在 $\tau =0,\eta =0$的地方

$|A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)|$最大值發生在 $\tau =0,\eta =0$的地方

而 Cross-terms：

$|A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )|$最大值發生在 $\tau =t_{d},\eta =f_{d}$的地方

$|A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )|$最大值發生在 $\tau =-t_{d},\eta =-f_{d}$的地方

換句話說，如果我們繪製一個 x軸為 $\tau$, y軸為 $\eta$ 的座標圖，Auto-terms發生在原點 $(0,0)$ 的位置，而 Cross-terms 則是以原點為對稱中心，在第一象限和第三象限的位置，

這也是為什麼可以透過一個低通函數來濾除雜訊，把主成分 Auto-terms 分離出來，避免交叉項的問題。

與 維格納分布 Wigner Distribution Function 的不同

維格納分布是由尤金·維格納於 1932 年提出的新的時頻分析方法，對於非穩態的訊號有不錯的表現。

相較於傅立葉轉換或是短時距傅立葉轉換，維格納分布能有比較好的解析能力。

維格納分布的定義為:

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau$

如果我們假設 $x(t)$ 是一個具有弦波特性的訊號, $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$

那麼將此 $x(t)$ 代入維格納分布中，

Wigner Distribution Function 分析圖

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi f_{0}(t+{\tfrac {\tau }{2}})}e^{-j2\pi f_{0}(t-{\tfrac {\tau }{2}})}\ e^{-j2\pi \tau f}\ d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi f_{0}\tau }\ e^{-j2\pi \tau f}\ d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \tau (f-f_{0})}d\tau$

$=\delta (f-f_{0})$

所以當 $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 時，$W_{x}(t,f)$ 在 $f=f_{0}$ 的地方會有最大值。

換句話說，當 $x(t)$有 modulation $f_{0}$ 或是有 time shifting $t_{0}$ 的情況發生時，會影響維格納分布 (Wigner Distribution Function) 最大值 $|W_{x}(t,f)|$ 的位置

然而，對於科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting $t_{0}$ 和 modulation $f_{0}$ 並不會影響 $|A_{x}\left(\tau ,\eta \right)|$

參考

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.