覆疊空間

在拓撲學中，拓撲空間 $X$ 的覆疊空間是一對資料 $(Y,p)$ ，其中 $Y$ 是拓撲空間， $p:Y\to X$ 是連續的滿射，並存在 $X$ 的一組開覆盖

X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U

使得對每個 $U\in {\mathcal {U}}$ ，存在一個離散拓撲空間 $F$ 及同胚： $\phi _{U}:U\times F\simeq p^{-1}(U)$ ，而且 $p\circ \phi _{U}:U\times F\to U$ 是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的 $p:Y\to X$ 稱為覆疊映射。當 $X$ 連通時， $F$ 的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。

空間 $X$ 的覆疊構成一個範疇 $\mathbf {Cov} _{X}$ ，其對象形如 $p:Y\to X$ ，從 $p:Y\to X$ 到 $q:Z\to X$ 態射是連續映射 $f:Y\to Z$ ，且 $q\circ f=p$ 。

例子

考慮映射 $p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ ， $p(x)=e^{2\pi ix}$ 。對任意 $s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}$ ，取其開鄰域

U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)

f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n

由此可見 $p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ 是覆疊映射。

莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 $\mathbb {S} ^{1}\times [0,1]$ 。

性质

局部性质对于任何一个覆叠 $p:C\to X$ 都是一个局部同胚，这就是说，对任意的 $c\in C$ ，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。纤维上的同胚

萬有覆疊空間

連通空間 $X$ 的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇 $\mathbf {Cov} _{X}$ 的初始對象 $u:{\tilde {X}}\to X$ ，換言之，對每個覆疊 $p:X'\to X$ ，存在唯一的連續映射 $f:{\tilde {X}}\to X'$ 使得 $p\circ f=u$ 。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的 $\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ 便是一例。

若要求 $X$ 局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊 ${\tilde {X}}\to X$ 是萬有覆疊的充要條件是基本群 $\pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}$ 。

正則覆疊及主叢

以下同樣要求 $X$ 連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射 $p:Y\to X$ ，選定 $x\in X$ 。在 $\mathbf {Cov} _{X}$ 中的自同構群 $\mathrm {Aut} (p)$ 在纖維 $p^{-1}(x)$ 上的作用是自由的（即： $\mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))$ 是單射），對於 $x\in X$ 的不同選取，此作用僅差個自然的同構。