2i

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2i

2i
數表 — 高斯整數 << −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>
$2i$在高斯平面上的位置
命名
名稱	2i 負四的平方根 二虛數單位
性質
高斯整數分解	$(1+i)^{2}$
絕對值	2
以此為根的多項式或函數	$x^{2}+4=0$
表示方式
值	2倍虛數單位 $2i$
代數形式	$2{\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-4}}$
十进制	2i
-1+i进制	1110100
2i进制	10

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

$2i$是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數，屬於高斯整數，為虛數單位的兩倍，同時也是負四的平方根，是方程式$x^{2}+4=0$的正虛根。日常生活中通常不會用$2i$來計量事物，例如無法具體地描述何謂$2i$個人，邏輯上$2i$個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用$2i$來做虛數的例子或題目。

在高斯平面上，與$2i$相鄰的高斯整數有$i$和$3i$（上下相鄰；純虛數）以及$2i-1$和$2i+1$（左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷$2i$與$3i$間的大小關係，因此無法定義$i$與$3i$何者為$2i$的前一個虛數、何者為$2i$的下一個虛數。

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
與$2i$相鄰的高斯整數示意圖

性質

• $2i$不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為0、虛部為2，輻角為90度（${\frac {\pi }{2}}$弧度），其也能表達為$2e^{i\pi /2}$或$2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)$。
• $2i$是一個高斯整數，高斯整數分解為$(1+i)^{2}$，或$(1+i)(1+i)$，其中，1+i為2i的高斯質因數。
• 所有複數的可以表達為$2i$之冪的線性組合。換句話說若進位制以$2i$為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。
• 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以$2i$的商，換言之，則$z-z^{*}=2i\,Im(z)$。

  $Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}$

• 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以$2i$的商。

  $\sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

• $2i$等於最小的質數和虛數單位的積，即$p_{_{1}}\times i=2i$，其中$p_{n}$為第$n$個質數。
• 虛數單位和虛數單位的倒數相差$2i$。
• 任意數與$2i$相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。

2i的冪

$2i$的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪 ，虛數的正值項為16的冪的2倍 、虛數的負值項為16的冪的−8倍，因此這種特性使得$2i$作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。

2i的平方根

$2i$的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即${\sqrt {2i}}=1+i$，反過來說$2i$正好是實數單位與虛數單位相加的平方，$(1+i)^{2}=2i$。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是$2i$的平方根。

相關數字

−2i

$-2i$是$2i$的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。

1+i

$1+i$是$2i$的平方根，同時也是高斯質數。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於$-1+i$為底數的進位制，$-1+i$做為底數更為適合。亦有另外一個數也為$2i$的平方根，即$-1-i$，但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中，也沒有其他特殊的性質。此外，$-1-i$也不是第一象限高斯質數，因此鮮少被拿出來討論。

−1+i

−1+i

−1+i
命名
名稱	−1+i
性質
高斯整數分解	${\displaystyle }$$i\times \left(1+i\right)$
絕對值	${\sqrt {2}}$
表示方式
值	$-1+i$
代數形式	${\sqrt {-2i}}$
十进制	−1+i
2i进制	113.2

在−1+i進位制系統中整數部分全為零的複數

参见：-1±i进制

$-1+i$是$-2i$的平方根。距離原點${\sqrt {2}}$單位，輻角為135度（${\frac {3\pi }{4}}$弧度），其實部為負一、虛部為1。$-1+i$不是高斯質數，其可以分解為i和1+i的乘積。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以$-1+i$為底數並用1和0表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，如$1-i$，但對高斯整數而言，以$1-i$為底並不是一個優良的選擇。雖然$1-i$也是$-2i$的平方根，但因為上述原因，所以$1-i$這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。

除了$-1+i$外，其他$-n+i$形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以$-1+i$為例，其表達的範圍較為均勻，而$-2+i$、$-3+i$等則會越來越狹長。

−1+i進制與相關進制比較

十進制	二進制	2i進制	−1+i進制	−2+i進制
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	10	2	1100	2
−1	−1	103	11101	144
−2	−10	102	11100	143
i	i	10.2	11	12
2i	10i	10	1110100	24
3i	11i	20.2	1110111	1341
−i	−i	0.2	111	133
−2i	−10i	1030	100	121
−3i	−11i	1030.2	110011	13304
1+i	1+i	11.2	1110	13
1−i	1−i	1.2	111010	134
−1+i	−1+i	113.2	10	11
−1−i	−1−i	103.2	110	132
2+i	10+i	12.2	1111	14
2−i	10−i	2.2	111011	1440
−2+i	−10+i	112.2	11111	10
−2−i	−10−i	102.2	11101011	131

相鄰的高斯整數

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
與$2i$相鄰的高斯整數示意圖

3i

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$3i$是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。

$3i$的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此$3i$的高斯整數分解為${\displaystyle }$$i\times 3$。

−1+2i

$-1+2i$是在虛數軸正向距離原點${\sqrt {5}}$個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i、−1+i和−2+2i相鄰。

$-1+2i$不是高斯質數，其具有高斯質因數$2+i$。$-1+2i$的高斯整數分解為${\displaystyle }$$i\times \left(2+i\right)$。

1+2i

$1+2i$是一個高斯質數 ，在虛數軸正向距離原點${\sqrt {5}}$個單位，其實部為一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。

參見

• 虛數單位
• -2