K類函數

${\mathcal {K}}$類函數（Class kappa function）也稱為是在控制理論中判斷非自治系統（nonautonomous system）是否穩定時會用到的一類函數，會將其他函數和${\mathcal {K}}$類函數比較，以確認系統的穩定性。

連續函數$\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$若滿足以下條件，則屬於${\mathcal {K}}$類函數：

• 函數嚴格遞增。
• 函數滿足$\alpha (0)=0$。

連續函數$\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$若滿足以下條件，則屬於${\mathcal {K}}_{\infty }$類函數：

• 函數屬於${\mathcal {K}}$類函數。
• 函數的定義域範圍可以到無限大，$a=\infty$.
• 函數滿足$\lim _{r\rightarrow \infty }\alpha (r)=\infty$.

若一非遞減的正定函數$\beta$滿足所有${\mathcal {K}}$類（或${\mathcal {K}}_{\infty }$類）函數的條件，只有嚴格遞增條件不滿足，可以用以下的方式讓此函數的上下界用${\mathcal {K}}$類（或${\mathcal {K}}_{\infty }$類）函數來表示：

$\beta (x){\frac {x}{x+1}}<\beta (x)<\beta (x)\left({\frac {x}{x+1}}+1\right)=\beta (x){\frac {2x+1}{x+1}},\qquad x\in (0,a).\,$

${\mathcal {KL}}$類函數

連續函數$\beta :[0,a)\times [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$若滿足以下條件，則屬於${\mathcal {KL}}$類函數：

• 對於每一個固定的$s$，函數$\beta (r,s)$屬於${\mathcal {K}}$類函數
• 對於每一個固定的$r$，函數$\beta (r,s)$會隨著$s$遞減，而且當$s\rightarrow \infty$時，$\beta (r,s)\rightarrow 0$。

參考資料

• H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.