比

比（ratio）或比值，在数学上是一对孪生术语，比是两个非零“数”或非零“同类量”之间的比较关系，另可用以表示部分占全体的相对关系；两数或量前后或上下并置，分别称为前项与后项，记作 $a:b$ ，读作 a比b，如右图之 4:3。

比值则强调比的数值，是由比的关係所导引出的前项除以后项的值，是两者的倍数关系，进而引申为一個数或变量除以另一個数或变量的商值；由于是数或同类量相除，所以比值无单位^[1]。除了整数外，比值常用分数、小数、百分比来表示；小于 1的比值，又常被俗称为比率，尽管汉语词汇「比率」是一含糊概念，其另一方面可表示数学的率。

“比”可含糊地表示一个数或量 a 拥有另一个数或量 b 的多少倍，而 b 能除尽 a 几次；“比值”则可清晰地显示第一个数是第二个数的几倍，为一明确正实数（不一定为整数）^[2]。在物理学上，不同效应的“比”，则常为重要参数或常数。但在英语中，“ratio”也意指“proportionality”（比例性）^[3]，容易混淆。

比与除法

比，依中国大陆义务教育课程及台湾國民中小學九年一貫課程，则定义为：两个数相除。与除法不同的是其呈现两个数或量的关系，而非像除法是一种运算。比，可以“分数”表示，也可以“比的形式”表示^[4]；前者记作 ${\frac {a}{b}}$ ，后者记作 $a:b$ ，均读作 a比b。其中区隔前项和后项的數學符號“ $:$ ”称作比号，比号前面的数称为比的前项，比号后面的数称为比的后项，比的后项不能为零。比的前项除以后项所得的商，称为比值。比值相当于商，是一个数，可为整数、小数、分数；因此广义的“比”，表示法可为“整数”、“小数”、“分数”、“百分比”、“比号”的形式。

举例

举例来说，若一碗水果中有八颗橙子和六颗柠檬，则橙子和柠檬的“比”是八比六（即 $8:6$ ，相当于 $4:3$ 的比），“比值”是 1.3333...。反过来说，柠檬与橙子的比为 $3:4$ 。此外，橙子与所有水果之比为 $4:7$ （相当于 $8:14$ ）。比 $4:7$ ，亦可转化为分数 ${\frac {4}{7}}$ ，表示橙子与所有水果的比，意即有多少水果是橙子。

单位

“比”在通常情况下，会将“两个用相同的单位测量的量”相比，它们的比值（商）是无量纲数。若两个量是用不同单位测量时，此比值（商）应被称为“率” ^[5]。

基准量与比较量

两个非零“同类量”做比较时，置于后项而当作1的量称为基准量，置于前项被比较的量称为比较量；比较量除以基准量所得的商，就是比值（比的数值）。表示比较量与基准量的关系，可以用比值（商）或比（具有前项、比号、后项）两种方式。

与比例的区别

“比例”则是“两个比”相等的式子，表示同类型的“两个比之间”的关系^[6]（例如，对象，人，学生，或任何相同单位的数值）；因此，比值相等的两个比才能组成比例。组成比例的四个数，称为比例的项；等式最两端的两项称为外项，等式中央的两项称为内项。与比不同的是：比由两个数组成；比例由四个数组成。

与率的区别

近代以英语主导科学定义下的“ratio”（比）和“rate”（率），是兩個相似卻在用法上有所區分的概念；但是汉语的“比”和“率”，由于漫长的历史因素并未以科学精确区分，偶有混用，造成了有时不符合定义的称呼；例如称作“率”的圆周率、斜率、分率、打击率，严谨来说，是一种“比”^[7]。另一漢語詞彙比率，在使用上更为含糊，一方面可表示率，另一方面也用來代表兩個數量的比或比值，這是比的值。

参考

^ 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-29]. （原始内容存档于2021-03-29）（中文）.
^ Penny Cyclopedia, p. 307
^ 存档副本. [2022-03-30]. （原始内容存档于2022-05-03）.
^ New International Encyclopedia
^ "The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)", "The Mathematics Dictionary" [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Wentworth, p. 55
^ 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-30]. （原始内容存档于2021-03-30）（中文）.

扩展阅读

"Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
"Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
"Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff （页面存档备份，存于互联网档案馆）
The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. : 112ff [2013-05-14]. （原始内容存档于2020-08-03）.
D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

Khan Academy: Ratios and rational expressions, free online micro lectures （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）

[1] 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-29]. （原始内容存档于2021-03-29）（中文）.

[2] Penny Cyclopedia, p. 307

[3] 存档副本. [2022-03-30]. （原始内容存档于2022-05-03）.

[4] New International Encyclopedia

[5] "The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)", "The Mathematics Dictionary" [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[6] Wentworth, p. 55

[7] 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-30]. （原始内容存档于2021-03-30）（中文）.

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