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无理数

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无理数(irrational number)是指有理数以外的实数,当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis,意思是“理解”,实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译,是指无法用两整数之比来说明的无理数。

有理数实数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点后有无限多,并且不会循环,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比)。常见无理数有大部分的平方根πe(后两者同时为超越数)等。无理数另一特征是无限的连分数表达式

传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现,他以几何方法证明无法用整数分数表示;而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数存在,后来希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另见第一次数学危机

无理数可以通过有理数的分划的概念来定义。

举例

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  1. =1.73205080…
  2. 3=0.47712125…
  3. e=2.71828182845904523536…
  4. sin 45°==0.70710678…
  5. π=3.141592653589793238462…

性质

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  • 无理数加或减无理数不一定得无理数,如
  • 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
  • 无理数的平方根立方根等次方根必得无理数。

不知是否是无理数的数

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π+e、π-e等,事实上,对于任何非零整数,不知道是否无理数。

无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数,只有π-π=0、等除外。

我们亦不知道欧拉-马歇罗尼常数卡塔兰常数费根鲍姆常数是否无理数。

无理数集的特性

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无理数集是不可数集(有理数集是可数集而实数集是不可数集)。无理数集是不完备拓扑空间,它与所有正数数列的集拓扑同构,当中的同构映射是无理数的连分数开展,因而贝尔纲定理可应用于无数间的拓扑空间。

无理化作连分数的表达式

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选取正实数使

经由递归处理

无理数之证

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证明是无理数

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假设是有理数,且是最简分数。

两边平方,得。将此式改写为,可见为偶数。

因为平方运算保持奇偶性,所以只能为偶数。设,其中为整数。

代入可得。同理可得亦为偶数。

这与为最简分数的假设矛盾,所以是有理数的假设不成立。

证明是无理数

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假设是有理数,两边平方得

其中因为是有理数,所以也是有理数。

透过证明为无理数的方法,其中为一非完全平方数

可以证明是无理数

同样也推出是无理数

但这又和是有理数互相矛盾

所以是一无理数

证明是无理数

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证一

同样,假设是有理数,两边平方得

于是是有理数。两边再次平方,得:

于是

由于是有理数,所以

透过证明形如的数是无理数的方法,得出也是一无理数

但这结果明显和皆为有理数出现矛盾,故为无理数

证二

同样假设是有理数,

,两边平方:

证明形式的数是无理数的方法,得出是无理数

也是矛盾的。

证明是无理数

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,两边平方得

,得到为一有理数

,两边继续平方:

由于皆为有理数

亦为有理数

证明形式的数是无理数的方法可知为无理数

这和是有理数冲突

所以得证为无理数

参见

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外部链接

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