参见维格纳分布 . 维格纳准概率分布 (又称维格纳方程 或是Wigner–Ville distribution )是个准概率分布. 1932年，Eugene winger 利用维格纳准概率分布开始研究将经典统计力学 用量子修正来解释的方法[ 1] 薛定谔方程 里的波函数 至概率分布里的相空间 .
在给定的量子力学波函数ψ (x )自相关函数 的一个母函数 .因此1927时，赫尔曼·外尔 [ 2] 概率密度函数 ，它扮演真实相空间函数及厄密特运算子的映射[ 3] 维格纳-魏尔变换 ，用来实现在相空间中的运算子。后来由让威乐在1948年重新推导成为信号的本地时频能量的二次表示法，可以有效的作为频谱图 。
在1949年，何塞·恩里克·莫雅尔 认可它作为量子 动量生成函数[ 4] 时频分析转换关系 )。它应用在统计力学 ，量子化学 ，量子光学 ，经典光学和信号分析，在不同的领域，如电子工程 ，地震 ，时频分析 ，音乐信号 ，在生物学 和语音处理谱图，和发动机设计 。
一个经典的粒子具有确定的位置和动量，因此它是由相空间中的点表示。
在刘维尔 密度中，发现粒子在相空间中特定位置的概率是由一个概率分布决定。然而由于不确定性原理 ，这种严格的解释未能阐述量子粒子。相反地，准概率维格纳分布扮演一个类似的角色，虽然并不满足所有传统概率分布特性但满足经典分布不能使用有界的特性。
例如，维格纳分布通常可分析负的状态，是量子波干涉方便的指标。透过一个尺寸大于ħ 魏尔斯特拉斯函数 转换来得到Husimi表示式如下)可以平滑化维格纳分布，创造一个正半定的功能。[ 5]
负值的区域可以被证实是小的，这些区域不能延伸到紧凑区域以外几个ħ 经典极限论' 消失。由于不确定性原理不允许
相空间区域小于ħ
维格纳分布P (x ,p )
P
(
x
,
p
)
=
d
e
f
1
π
ℏ
∫
−
∞
∞
ψ
∗
(
x
+
y
)
ψ
(
x
−
y
)
e
2
i
p
y
/
ℏ
d
y
{\displaystyle P(x,p)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy\,}
其中ψ x p
也可以写成，
P
(
x
,
p
)
=
1
π
ℏ
∫
−
∞
∞
φ
∗
(
p
+
q
)
φ
(
p
−
q
)
e
−
2
i
x
q
/
ℏ
d
q
{\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq}
φ ψ
在3D里，
P
(
r
→
,
p
→
)
=
1
(
2
π
)
3
∫
ψ
∗
(
r
→
+
ℏ
s
→
/
2
)
ψ
(
r
→
−
ℏ
s
→
/
2
)
e
i
p
→
⋅
s
→
d
3
s
.
{\displaystyle P({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}
一般情况下密度矩阵的维格纳分布，包含混合态，
P
(
x
,
p
)
=
1
π
ℏ
∫
−
∞
∞
⟨
x
+
y
|
ρ
^
|
x
−
y
⟩
e
−
2
i
p
y
/
ℏ
d
y
,
{\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x+y|{\hat {\rho }}|x-y\rangle e^{-2ipy/\hbar }\,dy,}
其中⟨x |ψ ⟩ = ψ(x) 希尔伯特空间 。
因此，维格纳函数是量子力学 在相空间的基石。
1949年何塞·恩里克·莫雅尔 阐明维格纳分布是如何提供相空间的整合测量(类似于一个概率密度分布)，让相空间方程的期望值g (x ,p )Ĝ
特别地，Ĝ
⟨
G
^
⟩
=
∫
d
x
d
p
P
(
x
,
p
)
g
(
x
,
p
)
.
{\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int \!dx\,dp~P(x,p)~g(x,p)~.}
Figure 1: The Wigner quasiprobability distribution for a) the vacuum b) An n = 1 Fock state (e.g. a single photon) c) An n = 5 Fock state. 1. P (x , p )是实数
2. x 和p 的概率分布由边缘决定：
∫
−
∞
∞
d
p
P
(
x
,
p
)
=
⟨
x
|
ρ
^
|
x
⟩
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}
纯态 ，则
∫
−
∞
∞
d
p
P
(
x
,
p
)
=
|
ψ
(
x
)
|
2
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}}
∫
−
∞
∞
d
x
P
(
x
,
p
)
=
⟨
p
|
ρ
^
|
p
⟩
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle }
纯态 ，则
∫
∞
∞
d
x
P
(
x
,
p
)
=
|
φ
(
p
)
|
2
{\displaystyle \int _{\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=|\varphi (p)|^{2}}
∫
−
∞
∞
d
x
∫
−
∞
∞
d
p
P
(
x
,
p
)
=
T
r
(
ρ
^
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=Tr({\hat {\rho }})}
通常密度矩阵ρ̂ 的秩为1 3. P (x , p )有以下的反射对称性：
时间对称性：
ψ
(
x
)
→
ψ
(
x
)
∗
⇒
P
(
x
,
p
)
→
P
(
x
,
−
p
)
{\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)}
空间对称性：
ψ
(
x
)
→
ψ
(
−
x
)
⇒
P
(
x
,
p
)
→
P
(
−
x
,
−
p
)
{\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(-x,-p)}
4. P (x , p )是伽利莱协变：
ψ
(
x
)
→
ψ
(
x
+
y
)
⇒
P
(
x
,
p
)
→
P
(
x
+
y
,
p
)
{\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x+y,p)}
不是劳伦兹协变性 5. 如果没有外力作用，在相位空间中每个点的运动方程符合经典力学：
∂
P
(
x
,
p
)
∂
t
=
−
p
m
∂
P
(
x
,
p
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial P(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial P(x,p)}{\partial x}}}
事实上如果外力是谐波也满足
6. 状态重叠的计算公式：
|
⟨
ψ
|
θ
⟩
|
2
=
2
π
ℏ
∫
−
∞
∞
d
x
∫
−
∞
∞
d
p
P
ψ
(
x
,
p
)
P
θ
(
x
,
p
)
{\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)}
7. 期望值运算子被认为是维格那变换的相空间平均：
g
(
x
,
p
)
≡
∫
−
∞
∞
d
y
⟨
x
−
y
/
2
|
G
^
|
x
+
y
/
2
⟩
e
i
p
y
/
ℏ
,
{\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle x-y/2|{\hat {G}}|x+y/2\rangle e^{ipy/\hbar },}
⟨
ψ
|
G
^
|
ψ
⟩
=
T
r
(
ρ
^
G
^
)
=
∫
−
∞
∞
d
x
∫
−
∞
∞
d
p
P
(
x
,
p
)
g
(
x
,
p
)
.
{\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =Tr({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dpP(x,p)g(x,p).}
8. 为了使P (x , p )代表物理(正)密度矩阵：
∫
−
∞
∞
d
x
∫
−
∞
∞
d
p
P
(
x
,
p
)
P
θ
(
x
,
p
)
≥
0
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)P_{\theta }(x,p)\geq 0~,}
9. 利用柯西- Schwarz不等式，对于纯的状态，它被限制为有界，
−
2
h
≤
P
(
x
,
p
)
≤
2
h
.
{\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq P(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}
Figure 2: Wigner function for the simple harmonic oscillator ground state, displaced from the origin of phase space (i.e., a coherent state ). (Click to animate.) Note the rigid rotation, identical to classical motion: this is a special feature of the SHO. From the general pedagogy web-site.[ 6] Ĝ g(x,p) 而言，维格纳变换 是一般的反转换，如下：
g
(
x
,
p
)
=
∫
−
∞
∞
d
s
e
i
p
s
/
ℏ
⟨
x
−
s
2
|
G
^
|
x
+
s
2
⟩
.
{\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds~e^{ips/\hbar }\langle x-{\frac {s}{2}}|\ {\hat {G}}\ |x+{\frac {s}{2}}\rangle .}
厄密特运算子映射至实域。它的反转换被称为魏尔转换，
⟨
x
|
G
^
|
y
⟩
=
∫
−
∞
∞
d
p
h
e
i
p
(
x
−
y
)
/
ℏ
g
(
x
+
y
2
,
p
)
,
{\displaystyle \langle x|\ {\hat {G}}\ |y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{dp \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({x+y \over 2},p\right),}
虽然维格纳准概率分布具有好的时频聚集性，但是，对于多分量的讯号，会出现所谓的”交叉项”，是一种”虚假讯号”，这是维格纳准概率分部的一大缺陷。
交叉项是因为多个分量的讯号中不同讯号之间的交叉作用，而在时频分部中，交叉项一般会有震荡的现象，并且导致讯号的时频特征模糊。
因此，如何有效的抑制交叉项，对时频分析来说是个重要的议题。[ 7]
Figure 7: A contour plot of the Wigner–Ville distribution for a chirped pulse of light. The plot makes it obvious that the frequency is a linear function of time. 在光学系统像是望远镜或光纤通讯设备中的设计，维格纳方程被用来桥接简单光线追迹和系统的全波分析之间的差距。在这方面，维格纳方程是最好的方法能描述系统中的光线位置x θ
在信号分析中，维格纳方程能表示随时间变换的电信号，机械震动或是声波。这里，x p/ħ ω = 2πf
在超快光学，短激光脉冲具有维格纳方程的特性，参数和上一行一样。参见图七。
^ E.P. Wigner , "On the quantum correction for thermodynamic equilibrium", Phys. Rev. 40 (June 1932) 749–759. doi :10.1103/PhysRev.40.749 ^ H. Weyl , Z. Phys. 46 , 1 (1927). doi :10.1007/BF02055756 ; H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel) (1928); H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (Dover, New York, 1931).^ H.J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics",Physica ,12 (1946) 405–460. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4
^ J.E. Moyal , "Quantum mechanics as a statistical theory", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 45 , 99–124 (1949). doi :10.1017/S0305004100000487 ^ Specifically, since this convolution is invertible, in fact, no information has been sacrificed, and the full quantum entropy has not increased, yet. However, if this resulting Husimi distribution is then used as a plain measure in a phase-space integral evaluation of expectation values without the requisite star product of the Husimi representation , then, at that stage, quantum information has been forfeited and the distribution is a semi-classical one , effectively. That is, depending on its usage in evaluating expectation values, the very same distribution may serve as a quantum or a classical distribution function .
^ Curtright, T.L., Time-dependent Wigner Functions （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
^ 葛哲学, and 陈仲生. "Matlab 时频分析技术及其应用." 人民邮电出版社, pp10-15 (2006).
M. Levanda and V Fleurov, "Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields", Annals of Physics , 292 , 199–231 (2001).
