弹性力学

弹性力学 (Theory of Elasticity)，也称弹性理论，是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移问题。

基本概念与基本假设

基本概念

参见：力、应力、应变 (物理学)、形变、位移和弹性 (物理学)

作用于物体的外力可分为体积力（body force）和表面力 （surface force）。体积力是作用在物体内部体积上的外力，简称体力，例如重力、惯性力、电磁力等。表面力是作用在物体表面上的外力，简称面力，例如流体压力、接触力等。

基本假设

1. 连续性：假定物体是连续的，即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，并且在整个变形过程中保持其连续性。
2. 完全弹性：假定物体是完全弹性的，即物体在引起形变的外力去除后能完全恢复其初始的形状和尺寸，物体的形变与其所受外力具有一一对应的函数关系。
3. 均匀性：假定物体是均匀的，即整个物体的所有部分具有相同的弹性性质。
4. 各向同性：既定物体是各向同性的，即物体的弹性性质在所有各个方向都相同，与考察方向无关。
5. 小变形：假定物体受力后的位移和形变是微小的，整个物体所有个点的位移都远小于物体原来的尺寸，且应变与转角都远小于1。

对符合上述前4项假定的物体，称为理想弹性体。

基本方程

平衡方程

应力形式的静力平衡方程式

${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0\\\end{aligned}}$

张量形式

$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {0}}$

几何方程

应变与位移关系式

${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}},\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}$

张量形式(向量)

${\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {u}}\nabla +\nabla {\boldsymbol {u}}\right)$

等向性材料的应力与应变关系式(虎克定律)（本构方程）

参见：弹性模量、泊松比和剪切模量

${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{x}-\nu \left(\sigma _{y}+\sigma _{z}\right)\right],\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\\\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{y}-\nu \left(\sigma _{z}+\sigma _{x}\right)\right],\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{G}}\tau _{zx}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{z}-\nu \left(\sigma _{x}+\sigma _{y}\right)\right],\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}\\\end{aligned}}$

平面问题

平面应力问题

$\sigma _{z}=\tau _{zx}=\tau _{zy}=0$

平面应变问题

$\epsilon _{z}=\gamma _{zx}=\gamma _{zy}=0$

参见

• 胡克定律
• 材料力学
• 结构力学
• 有限单元法