改进型韦格纳分布

改进型韦格纳分布(modified Wigner distribution function)，用于时频分析的一种方法，属于信号处理的范畴。它改进了韦格纳分布原有的相交项(cross term)的问题。
韦格纳分布是西元1932年由尤金·维格纳所提出用于古典力学，但是亦可用于时频分析。韦格纳分布与短时距傅立叶变换都可用于时频分析，虽然前者通常拥有较高的解析度且有良好的数学特性，但当有两个以上的信号成分时，韦格纳分布就会出现相交项问题，这在应用上造成很大的困扰。
因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改进型韦格纳分布，以修正韦格纳分布中会出现的相交项问题。

原理

韦格纳分布的数学定义

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$$=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta$

改进型韦格纳分布的数学定义

为了改善韦格纳分布的相交项(cross-term)问题，改进型韦格纳分布在此引入了一个类似遮罩(mask)的函数，将相交项过滤掉。

• • 定义一：:$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$

，其中w(t)为遮罩函数. 常为方波，其方波宽度为参数B。可写成 $w(t)={\begin{cases}1\ \ \ if\ |t|<B\\0\ \ \ otherwise\end{cases}}$

• • 定义二：:$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }P(\theta )Y(t,f+\theta /2)Y^{*}(t,f-\theta /2)d\theta$
    ， 其中 $Y(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x(t+\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$； $P(\theta )\,$ 类似遮罩函数，

$P(\theta )\approx 1\$， 当θ很小

$P(\theta )\approx 0\$， 当θ很大

适当地选择$P(\theta )\approx 1\$的范围。若选的范围太小，将会破坏原本的项(auto term)。

• 定义三：$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(t+{\tfrac {\tau }{2L}})\cdot {\overline {x^{L}(t-{\tfrac {\tau }{2L}})}}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau$

增加 L 可以减少相交项(cross-term)的影响(但是不会完全消除)

• 定义四：$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

当 q = 2 和 $d_{l}=d_{-l}=0.5$，就是原本的韦格纳分布。

当指数函数的次项不超过 q/2 +1时，就可以避免相交项(cross-term)

然而，相交项(cross-term)会介于两个讯号之间，无法完全被移除。

<说明>

定义四的维格纳分布又称为多项型维格纳分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau }\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

If $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n}}$

所以 $d_{\ell }$ 必须要能满足下面的式子：

$e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau }=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )$

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1})na_{n}t^{n-1}\tau }d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )$

其中 $\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}$为 $x(t)$ 的瞬时频率

接下来，我们来看 $d_{\ell }$ 要怎么设定：

(1) 当 $q=2$ 的时候： $x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{2}na_{n}t^{n-1}\tau }$

如果我们把 $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a_{n}t^{n}}$代入，可以得到下列式子：

$a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{1}\tau )-a_{2}(t-d_{-1}\tau )-a_{1}(t-d_{-1}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau$

${\begin{cases}d_{1}+d_{-1}=1\\d_{1}-d_{-1}=0\end{cases}}$ $\Longrightarrow {\begin{cases}d_{1}={\tfrac {1}{2}}\\d_{-1}={\tfrac {1}{2}}\end{cases}}$

由此可以知道，当 $q=2$ 并且 $d_{-1}=d_{1}={\tfrac {1}{2}}$ 时，多项型的维格纳分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就会与原始的维格纳分布相同

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau ,\quad if\quad q=2,\ d_{-1}=d_{1}={\tfrac {1}{2}}$

(2) 当 $q=4$ 的时候： $x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{3}na_{n}t^{n-1}\tau }$

如果我们把 $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a_{n}t^{n}}$代入，可以得到下列式子：

$a_{3}(t+d_{1}\tau )^{3}+a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{1}\tau )a_{3}(t+d_{2}\tau )^{3}+a_{2}(t+d_{2}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{2}\tau )-a_{3}(t+d_{-1}\tau )^{3}-a_{2}(t+d_{-1}\tau )^{2}-a_{1}(t+d_{-1}\tau )-a_{3}(t+d_{-2}\tau )^{3}-a_{2}(t+d_{-2}\tau )^{2}-a_{1}(t+d_{-2}\tau )$

$=3a_{3}t^{2}\tau +2a_{2}t\tau +a_{1}\tau$

${\begin{cases}a_{3}(t+d_{1}\tau )^{3}+a_{3}(t+d_{2}\tau )^{3}-a_{3}(t+d_{-1}\tau )^{3}-a_{3}(t+d_{-2}\tau )^{3}\\a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{2}(t+d_{2}\tau )^{2}-a_{2}(t+d_{-1}\tau )^{2}-a_{2}(t+d_{-2}\tau )^{2}\\a_{1}(t+d_{1}\tau )+a_{1}(t+d_{2}\tau )-a_{1}(t+d_{-1}\tau )-a_{1}(t+d_{-2}\tau )\end{cases}}$$={\begin{cases}3a_{3}t^{2}\tau \\2a_{2}t\tau \\a_{1}\tau \end{cases}}$

所以我们可以得到

${\begin{cases}d_{1}+d_{2}+d_{-1}+d_{-2}=1\\{d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}-{d_{-1}}^{2}-{d_{-2}}^{2}=0\\{d_{1}}^{3}+{d_{2}}^{3}+{d_{-1}}^{3}+{d_{-2}}^{3}=0\end{cases}}$

可以看到如果 $q$ 太大，$d_{\ell }$ 会不好设计。

性能表现

在此有两个例子来说明改进型韦格纳分布确实能消除相交项。

1. $x(t)={\begin{cases}\cos(3\pi t)\ \ \ t\leq -4\\\cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\leq 4\ \ \ \\\cos(4\pi t)\ \ \ t>4\end{cases}}$

左图是韦格纳分布；右图是改进型韦格纳分布。可以很明显地看出，改进型韦格纳分布大大地改进相交项的问题，相对地增加清晰度。

1. $x(t)=\exp(j\cdot (t-5)^{3}-j\cdot 6\pi \cdot t)$

左图是韦格纳分布；右图是改进型韦格纳分布。明显地看出，改进型韦格纳分布确实可改进相交项的问题，同时增加清晰度。

同时参阅

• 信号处理
• 时频分析
• 短时距傅立叶变换

参考资料

• Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
• L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, “An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,” IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.