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泛代數

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泛代數,也稱普適代數學(英語:Universal algebra),研究通用於所有代數結構的理論,而不是代數結構的模型。舉個例子,並不是將特殊的個別的群作為個體分別來學習,而是將整個群論的理論作為學習的主題。

基本思想

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從泛代數角度來看,代數是擁有一組運算元集合A。在A上的n元運算是以n個A的元素為輸入並返回一個A的元素的函數。這樣,0元運算(空運算)可簡單表示為A的一個元素或常數,通常用a表示。一元運算是簡單的從A到A的函數,常用置於參數前的符號表示,如~x。二元運算通常用置於參數間的符號表示,如x*y。元數更高或不確定的運算通常用函數符號表示,參數放在括號中,例如f(x, y, z)或f(x1,...,xn)。那麼,討論代數的一種方式就是將其稱為某類代數,其中是自然數的有序數列,表示代數運算的元數。不過也有研究者允許無窮元運算,如,其中J是無窮指標集,是完全格代數理論中的一種運算。

等式

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定義了運算後,代數的性質由公理進一步定義,在泛代數中通常用恆等式或等式法則的形式。例如二元運算的結合律,可由等式x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z給出。

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由等式定義的代數結構集合稱作簇或等價類

將研究範圍限制在簇,就排除了

等式類研究可看作是模型論的一支,通常處理只有運算的結構(類型中可以有函數的符號,但不能有等式以外的關係的符號)。談論這種結構的語言只使用等式。

其不包含所有廣義代數結構。例如,有序交換群涉及序關係,因此不屬於這個範疇。

類也不屬於等式類,因為沒有類型能把所有域法則寫成等式(域中元素的逆適於所有非零元素,因此不能把逆加入類型中)。

這樣限制的一個好處是,泛代數研究的結構可定義在任何具有有限範疇中。例如,拓撲群只是拓撲空間範疇中的一個群。

例子

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大多數泛代數系統都是簇的例子,但不總是很明顯,因為通常的定義往往涉及量化或不等式。

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的定義為例。通常,一個群的定義由二元運算*完成,並遵循以下公理:

  • 結合律x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z;  形式化:∀x,y,z. x∗(yz)=(xy)∗z.
  • 單位元:存在一個元素e,使得對每個x。都有e ∗ x  =  x  =  x ∗ e;  形式化:∃ex. ex=x=xe.
  • 逆元素:很容易看出單位元是唯一的,一般記作e。那麼對每個x,都有元素i使x ∗ i  =  e  =  i ∗ x;  形式化:∀xi. xi=e=ix.

(有人也使用「封閉」公理,即只要x ∗ y都屬於A,則x*y也屬於,但這裏稱*為二元運算已經暗示了這一點。)

群的這一定義並不直接符合泛代數,因為單位元和逆元素並非純粹從「對所有」元素普遍成立的等式規律表述,而還涉及存在量詞「存在……」。除了二元運算∗,還可指定空運算e和一元運算~,~x通常寫作x−1。這樣,公理變為:

  • 結合律:x ∗ (yz)  =  (xy) ∗ z.
  • 單位元:ex  =  x  =  xe;形式化:∀x. ex=x=xe.
  • 逆元素:x ∗ (~x)  =  e  =  (~x) ∗ x  形式化:∀x. x∗~x=e=~xx.

總結來說,通常的定義有

  • 單一二元運算
  • 1個等式法則(結合律)
  • 2個量化法則(單位元與逆元)

而按泛代數,則有

  • 3種運算:1種二元運算,1種一元運算,1種零運算
  • 3個等式法則(結合律、單位元、逆元)
  • 沒有量化法則(最外層的全稱量詞除外,這在簇中是允許的)

關鍵點是,額外的運算沒有增加信息,而是唯一地遵循了群的通常定義,雖然沒有唯一指定單位元e,但很簡單就能證明它是唯一的,每個逆元素也唯一。

泛代數觀點非常適合範疇論。例如,在範疇論中定義群對象時,若對象可能不是集合,就必須用到等式法則(在一般範疇中是有意義的),而非量化法則(指單個元素)。此外,逆元和單位元在範疇中被指定為態射。例如,拓撲群中的逆不僅必須逐元素存在,還要給出連續映射(態射)。有人還要求恆等映射也要閉包(上纖維化)。

其他例子

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大部分代數結構都可作為泛代數的例子。

關係代數的例子有半格布爾代數

基本構造

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假設類固定。泛代數中有三種基本構造:同態像、子代數與積。

兩個代數A、B之間的同態函數h: A → B,使得對A中的每個n元運算fA和對應的B中n元運算fB,都有h(fA(x1,...,xn)) = fB(h(x1),...,h(xn))(若可以看出函數來自哪個代數,則f的上下標就可去掉)。例如,若e是常數(空運算),那麼 h(eA) = eB。若~是一元運算,那麼h(~x) = ~h(x)。若∗是二元運算,那麼h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y),以此類推。我們可以取代數的同態像h(A)。

A 的子代數是A的子集,對A的所有運算都封閉。某個代數結構集合的積,指的是集合在坐標上定義的運算的笛卡爾積

部分基本定理

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  • 同構基本定理,包括等的同構定理。
  • 伯克霍夫HSP定理,其指出,一類代數若且唯若在同態像、子代數與任意直積下封閉時,可以構成簇。

動機與應用

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除了統一方法之外,泛代數還給出了深奧的定理以及重要的示例和反例,為新代數研究提供了有用的框架。它可以將為某些代數發明的方法轉移到其他類的代數,方法是用泛代數(如果可能的話)重新詮釋之,然後將其解釋為適用於其他類別的方法。它還澄清了概念;正如J.D.H. Smith所說:「在特定框架中看起來雜亂而複雜的東西,在適當的一般框架中可能會變得簡單而明顯」。

特別是,泛代數可用於么半群的研究。在泛代數之前,許多定理(最知名的是同構基本定理)是在所有類別中分別證明的,但有了泛代數,就可以對每種代數系統進行一次性證明。

下面提到的Higgins 1956年的論文為一系列特定代數系統提供了框架而受到廣泛關注,而他1963年的論文則對具有僅部分定義運算的代數的討論而備受矚目,典型的例子就是範疇和廣群。這引出了高維代數的話題,可定義為研究具有部分運算的代數理論,其域是在幾何條件下定義的。著名的例子是各種形式的高維範疇和廣群。

約束滿足問題

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泛代數為約束滿足問題(CSP)提供了一種自然的語言。CSP是一類重要的計算問題:給定關係代數A和其上的句子,如何確定能否在A中得到滿足。代數A通常是確定的,因此CSPA指實例僅為存在語句的問題。

可以證明,對某個代數A,每個計算問題都可表為CSPA[1]

例如,n色問題可表述為代數的CSP,即具有個元素和一個關係式(不等式)的代數。

二分猜想(2017年4月證明)指出,若A是有限代數,則CSPA要麼是P問題,要麼是NP完全問題。[2]

推廣

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還可用範疇論手段研究泛代數:可用特殊的範疇描述代數結構,稱為勞維爾理論或更廣義的代數論。相對地,也可用單子描述代數結構。這兩種方法密切相關,各有優勢。[3] 特別地,每個勞維爾理論都在集合範疇上給出了單子,而集合範疇的任何「有限」單子都產生於某個勞維爾理論。單子描述的是特定範疇(如集合範疇)中的代數結構,而代數論描述的是一大類範疇(即有有限積的範疇)中任何範疇的結構。

範疇論的最新發展是算元論——算元是一系列運算,類似於泛代數,但只允許在帶變量的表達式間建立等式,不允許重複或省略變量。因此,環可悲描述為某些算元的所謂「代數」,但不能描述為群,因為在左側重複了變量g,在右側省略了變量g。起初這似乎是個麻煩的限制,但其結果是,算元有某些優勢:例如,可以統一環和向量空間,得到結合代數,但無法統一環和向量空間。

另一處發展是偏代數,其中的運算可以是偏函數。某些偏函數也可通過所謂「本質代數論」的勞維爾理論推廣來處理。[4]

泛代數的另一種推廣是模型論,有時被描述為「泛代數+邏輯」。[5]

相關條目

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腳註

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  1. ^ Bodirsky, Manuel; Grohe, Martin, Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity (PDF), 2008 [2023-10-01], (原始內容存檔 (PDF)於2023-12-23) 
  2. ^ Zhuk, Dmitriy. The Proof of CSP Dichotomy Conjecture. 2017. arXiv:1704.01914可免費查閱 [cs.cc]. 
  3. ^ Hyland, Martin; Power, John, The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads (PDF), 2007 [2023-10-01], (原始內容存檔 (PDF)於2023-11-29) 
  4. ^ nLabEssentially algebraic theory條目
  5. ^ C.C. Chang and H. Jerome Keisler. Model Theory. Studies in Logic and the Foundation of Mathematics 73 3rd. North Holland. 1990: 1. ISBN 0444880542. 

參考文獻

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  • Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions頁面存檔備份,存於互聯網檔案館 (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1.
  • Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
  • Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra頁面存檔備份,存於互聯網檔案館 Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
  • Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (First published in 1965 by Harper & Row)
  • Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-34832-3. Free online second edition.
  • Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
  • Higgins, P. J. Groups with multiple operators頁面存檔備份,存於互聯網檔案館). Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
  • Higgins, P.J., Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
  • Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras頁面存檔備份,存於互聯網檔案館 American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2. Free online edition.
  • Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices頁面存檔備份,存於互聯網檔案館, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8. Free online edition.
  • Pigozzi, Don. General Theory of Algebras頁面存檔備份,存於互聯網檔案館. Free online edition.
  • Smith, J.D.H., 1976. Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
  • Whitehead, Alfred North, 1898. A Treatise on Universal Algebra, Cambridge. (Mainly of historical interest.)

外部連結

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