粘性解

數學中，粘性解是20世紀80年代早期由皮埃爾-路易·利翁和Michael G. Crandall作為對偏微分方程（PDE）經典解的擴展而引入的。粘性解在PDE的許多應用中作為解是非常自然的，例如優化控制中的一階偏微分方程（哈密頓-雅可比-貝爾曼方程），微分對策中（Hamilton–Jacobi–Isaacs equation），前端演化問題（front evolution problem），還有二階方程，例如在隨機優化控制或隨機微分博弈（stochastic differential game）中出現的。

經典的概念是在域$x\in \Omega$中PDE

$H(x,u,Du)=0$

有解，如果能找到在整個域上連續且可微的函數u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每個點都滿足上面的等式。

在粘性解的意義下，u不需要在每個點都可微。可能在有些點上Du不存在，即u中存在扭結（kink）但u在適當意義下滿足等式。雖然在某個點上Du可能不存在，但可以使用下面定義的上微分（superdifferential）$D^{+}u$和下微分（subdifferential）$D^{-}u$代替。

定義1. $D^{+}u(x_{0})=\left\{p:\limsup _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {u(x_{1})-u(x_{0})-p(x_{1}-x_{0})}{|x_{1}-x_{0}|}}\leq 0\right\}$

定義2. $D^{-}u(x_{0})=\left\{p:\liminf _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {u(x_{1})-u(x_{0})-p(x_{1}-x_{0})}{|x_{1}-x_{0}|}}\geq 0\right\}$

一般地，集合$\,D^{+}u\,$中的每個$\,p\,$是$\,u\,$在$\,x_{0}\,$"斜率"（slope）的一個上界，集合$\,D^{-}u\,$中每個$\,p\,$是$\,u\,$在$\,x_{0}\,$"斜率"（slope）的一個下界。

定義3. 連續函數u是上面PDE的一個粘性上解（viscosity subsolution），如果滿足

$H(x,u(x),p)\leq 0,\forall x\in \Omega ,\forall p\in D^{+}u(x)$

定義4. 連續函數u是上面PDE的一個粘性下解（viscosity supersolution），如果滿足

$H(x,u(x),p)\geq 0,\forall x\in \Omega ,\forall p\in D^{-}u(x)$。

定義5.連續函數u是PDE的一個粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。

粘性解存在不需引入上（下）微分概念的等價定義，見Fleming與Soner書中的第II.4節。