环图

在抽象代数子领域群论中，群的环图展示了一个群的各种循环，并在小有限群的可视化中特别有用。对少于 16 个元素的群，环图确定了群（在同构的意义下）。

环是给定群元素 a 的幂的集合；这里的 aⁿ 是元素 a 的 n 次幂，被定义为 a 乘以自身 n 次的乘积。称元素 a 生成了这个环。在有限群中，某个 a 的幂必定是单位元 e；最小的这种幂是环的阶，即其中的不同元素的数目。在环图中，环被表示为一系列的多边形，顶点表示群元素，而连线指示在这个多边形中所有元素都是同一个环的成员。

环

环可以交叠，或者它们除了单位元之外没有公共元素。环图把有价值的环显示为多边形。

如果 a 生成 6 阶环(或简称是 6 阶的)，则 a⁶ = e。那么 a² 的幂的集合 {a², a⁴, e} 是也一个环，但这实际上没有什么新信息。类似的，a⁵ 生成的环和 a 自身生成的环一样。

所以我们只需要考虑基本的环，即不是其他环的子集的环。它们都生成自某个基本元素 a。给最初群的每个元素一个顶点。对于每个基本元素，连接 e 到 a, a 到 a², ... a^n-1 到 aⁿ, ... 直到回到 e。结果是环图。

(技术上说，上述描述蕴含了如果 a² = e，a 是 2 阶的(对合)，它与 e 连接了两条边。习惯上只用一个边。)

性质

作为群的环图的一个例子，考虑二面体群 Dih₄。下面左边是这个群的乘法表，右边是环图，其中 e 指示单位元。

^o	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
e	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	ab	a³	a²	a
a	a	ab	a²	a³	e	a²b	a³b	b
a²	a²	a²b	a³	e	a	a³b	b	ab
a³	a³	a³b	e	a	a²	b	ab	a²b
ab	ab	a	b	a³b	a²b	e	a³	a²
a²b	a²b	a²	ab	b	a³b	a	e	a³
a³b	a³b	a³	a²b	ab	b	a²	a	e

注意环 e, a, a², a³。它可以从乘法表中 a 的连续的幂在事实上表现如此中看出来。反转情况也为真，换句话说: (a³)²=a², (a³)³=a 而 (a³)⁴=e 。这种表现对于任何群众任何环都为真 - 环可以按任何方向游历。

包含非素数个元素的环将隐含拥有在图中不连接出来的环。对于上面的群 Dih₄，我们可能想要在 a² 和 e 之间连线；因为 (a²)²=e；但是因为 a² 是一个更大环的一部分，我们不这么做。

在两个环共享非单位元的元素的时候可能有歧义。比如考虑简单的四元群，它的环图展示在右侧。在中间行中每个元素在乘以自身的时候都得到 -1 (这里的单位元是 1)。在这种情况下我们可以使用不同颜色追踪各个环，并且还采用对称性处理。

如上所述，两元素的环应该用两条线连接，通常会缩略为一条线。

两个不同的群可以有同样结构的环图，并只能通过乘积表，或依据群的基本元素标记图中元素来区分。这个问题可能出现的最低阶是下面展示的 16 阶的群 Z₂ x Z₈ 和模群的情况。(注意 - 在这些图中有公共元素的环通过对称性来区分。)

Z₂ x Z₈ 的乘法表如下:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1
3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3
5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5
7	6	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4
8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7
9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6
10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8
12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10
14	15	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
15	14	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12