李亞普諾夫指數

在數學領域中，李亞普諾夫指數（Lyapunov exponent）或李亞普諾夫特徵指數（Lyapunov characteristic exponent）用於量化動力系統中無限接近的軌跡之間的分離率。具體而言，相空間中初始間隔$\delta \mathbf {Z} _{0}$的兩條軌跡的分離率為（假定分離可按線性近似來處理）

$|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|\,$

其中$\lambda$即為李亞普諾夫指數。

當初始分離向量的方向不同時，其分離率也不同。因而存在李亞普諾夫指數譜（spectrum of Lyapunov exponents），其數量與相空間的維度相同。通常將其中最大的稱為最大李亞普諾夫指數（Maximal Lyapunov exponent，簡稱MLE），因為它決定了動力系統的可預測性。正的MLE通常表明系統是混沌的（假定其他條件滿足，如相空間的緊緻性）。需要注意的是，任意初始分離向量一般包括了MLE所在方向的部分分量，由於其隨指數增長的特徵，其他分量的效果隨著時間最終會被掩蓋。

李亞普諾夫指數是以俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫的名字命名的。

最大李亞普諾夫指數

最大李亞普諾夫指數定義為

$\lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}.$

極限$\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0$確保任何時間線性近似的可行性。

對離散時間系統（映射或迭代）$x_{n+1}=f(x_{n})$和以$x_{0}$為起始的軌跡，上式可以轉換成

$\lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|.$

參考文獻

• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. and Vattay G.Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhagen 2005 – textbook about chaos available under Free Documentation License

• Freddy Christiansen and Hans Henrik Rugh. Computing Lyapunov spectra with continuous Gram–Schmidt orthonormalization. Nonlinearity. 1997, 10 (5): 1063–1072. Bibcode:1997Nonli..10.1063C. doi:10.1088/0951-7715/10/5/004. （原始內容存檔於2006-04-25）. 

• Salman Habib and Robert D. Ryne. Symplectic Calculation of Lyapunov Exponents. Physical Review Letters. 1995, 74 (1): 70–73. Bibcode:1995PhRvL..74...70H. PMID 10057701. arXiv:chao-dyn/9406010 . doi:10.1103/PhysRevLett.74.70. 

• Govindan Rangarajan, Salman Habib, and Robert D. Ryne. Lyapunov Exponents without Rescaling and Reorthogonalization. Physical Review Letters. 1998, 80 (17): 3747–3750. Bibcode:1998PhRvL..80.3747R. arXiv:chao-dyn/9803017 . doi:10.1103/PhysRevLett.80.3747. 

• X. Zeng, R. Eykholt, and R. A. Pielke. Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision. Physical Review Letters. 1991, 66 (25): 3229–3232. Bibcode:1991PhRvL..66.3229Z. PMID 10043734. doi:10.1103/PhysRevLett.66.3229. 

• E Aurell, G Boffetta, A Crisanti, G Paladin and A Vulpiani. Predictability in the large: an extension of the concept of Lyapunov exponent. J. Phys. A: Math. Gen. 1997, 30 (1): 1–26. Bibcode:1997JPhA...30....1A. doi:10.1088/0305-4470/30/1/003. 

• F Ginelli, P Poggi, A Turchi, H Chaté, R Livi, A Politi. Characterizing Dynamics with Covariant Lyapunov Vectors (PDF). Physical Review Letters. 2007, 99 (13): 130601 [2014-11-09]. Bibcode:2007PhRvL..99m0601G. PMID 17930570. arXiv:0706.0510 . doi:10.1103/PhysRevLett.99.130601. （原始內容 (PDF)存檔於2008-10-31）.