在数学中,傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长,如信号处理和概率统计。
方程 f (t) 的傅里叶正弦变换,有时也被表示为
or
,有
![{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3531b59955c5833c384c6b06e33fb8d8d0656ab)
- 或
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(\omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6ca3eac3c795149fe1ce98cabae8ddd64617e3)
如果 t 代表时间,那么 ω 就是单位时间周期内的频率,但抽象来说,它们可以是互相关联的任何一对变量。
这个变换必须是频率的奇函数,即对所有的 ω:
![{\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\omega )=-{\hat {f}}^{s}(-\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfac753bc17fc8fb4e883490eaab0e80bed6fc9c)
傅里叶变换中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子,因子 2 出现因为对正弦函数有
L2 norm of
方程 f (t) 的傅里叶余弦变换,有时也被表示为
或
,有
![{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d9935043b2f465cf12629eb43b432b916e3f83)
这个变换必须是频率的偶函数,即对所有的 ω:
![{\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\omega )={\hat {f}}^{c}(-\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64a146983a5f7c3faf47dd50fe6d8a520bbe79b)
一些著者[1]仅定义了 t 的偶函数的余弦变换,在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数,所以可以使用更简单的公式:
![{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c790adfc4b3515e50668dcb73fcbc9a16d91af)
相似地,如果 f 是奇函数,那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为:
![{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405d5293fbe367ee527bd41426d41ab25b4a73cf)
傅里叶逆变换[编辑]
按照通常的假设,原始方程 f 可以从变换形式中复原。即 f 和它的两种变换都是绝对可积的。更多不同的假设,参见傅里叶逆变换。
逆公式是[2]:
![{\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \omega t)d\omega +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \omega t)d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da2830ed07af4007fa033ee125a8a0dc1346de6)
它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2,那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。
用余弦的变换公式,可以再表示为:
![{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}\left(f(x+0)+f(x-0)\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(\omega (t-x))dtd\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298fe72b5470343ac18b27acf0d21d73441e3022)
这里 f (x + 0) 表示 f 当 x 从上方趋近于零的一边极限。且 f (x − 0) 表示 f 当 x 从下方趋近于零一边的极限。
如果原始方程 f 是偶函数,那么正弦变换就为零;如果 f 是奇函数,那么余弦变换就为零。在任何一种可能中,逆变换方程都可以化简。
与複指数的关系[编辑]
如今用得更为广泛的傅里叶变换的形式是
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\&={\tfrac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\tfrac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cca576cb566f7ffbf2b3d8f2256385eb231995c)
相关条目[编辑]
- Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211
- ^ Mary L. Boas,在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》,第二版,John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
- ^ Poincaré, Henri. Theorie analytique de la propagation de chaleur. Paris: G. Carré. 1895: pp. 108ff. [2014-05-27]. (原始内容存档于2017-08-07).