在统计学 中，内曼-皮尔逊引理 （英語：Neyman–Pearson lemma ）是假设检验 的基本引理 ，由耶日·内曼 和埃贡·皮尔逊 于1933年提出。引理指出当零假设 和备择假设 均为简单假设时，似然比检验 显著性水平 相同的检验中统计功效 最大。
假设检验是根据样本 的观察结果，判断关于总体 的命题真伪的方法。若要对某一命题的真伪做出判断，两种错误可能会发生：在命题为真时判断它为假，和在命题为假时判断它为真，两者分别称为第一类错误与第二类错误 。发生第一类错误的概率 即称作显著性水平，而不发生第二类错误的概率称作统计功效。尽管理想的判断方法应该同时最小化两种错误，但这一点很难实现。内曼-皮尔逊引理给出了，在发生第一类错误的概率上限固定时，能尽量减少第二类错误的检验方法。
工厂验收、飞机试飞、新药研发等场合会从总体 中抽样 进行检查。总体的某一性质，比如合格品的占比、药品的效力，可被视作拥有未知概率分布 的随机变量
X
{\displaystyle \,X\,}
期望值 和方差 不明确的正态分布 。对样本 中这一性质的观察结果可视为
X
{\displaystyle \,X\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
假设检验 的目标。这种判断称作接受或拒绝这一假设。若
X
{\displaystyle \,X\,}
P
0
{\displaystyle \,P_{0}\,}
P
1
{\displaystyle \,P_{1}\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
P
0
{\displaystyle \,P_{0}\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
P
0
{\displaystyle \,P_{0}\,}
P
1
{\displaystyle \,P_{1}\,}
H
1
{\displaystyle \,H_{1}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
ϕ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \,\phi (x)=0\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \,\phi (x)=1\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
零假设 和备择假设 。
内曼和皮尔逊认为，仅靠概率论 无法证实或证伪单一的假设。然而，可以建立一套用于判断一系列假说的规则，使得长远来看依靠这一规则做出的判断大多数时候是正确的。在判断观测到的数据
x
{\displaystyle \,x\,}
P
1
(
x
)
P
0
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{P_{0}(x)}}.}
比值中的两种概率称作似然 ，而该检验方法称作似然比检验。
无论对假设作出怎样的判断，不可避免地会出现第一类错误与第二类错误 ：在假设为真时拒绝假设，和在假设为假时接受假设。取决于假设检验运用的场合，两种错误的结果会相当不同。若是用假设检验判断患者是否患有某一疾病，则第一类错误代表着患者没有患病时仍进行治疗，可能造成患者的不适和金钱损失；第二类错误则代表患者患病但没有诊出，若病情因而恶化可能导致患者死亡。在样本大小固定的情况下，无法同时控制这两种错误。发生第一类错误的概率 称作显著性水平 ，统计功效 则指不发生第二类错误的概率。似然比检验即是显著性水平上限固定时，统计功效最大的检验方法。
埃里希·莱曼 拉东-尼科迪姆导数 定义概率分布的概率密度函数 ，对引理的表述为：
内曼-皮尔逊引理 — 设
P
0
,
P
1
{\displaystyle \,P_{0},P_{1}\,}
测度
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
p
0
,
p
1
{\displaystyle \,p_{0},p_{1}\,}
存在性：存在有检验
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
k
{\displaystyle \,k\,}
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
=
α
,
{\displaystyle E_{0}(\phi (X))=\alpha ,}
1
ϕ
(
x
)
=
{
1
,
p
1
(
x
)
>
k
p
0
(
x
)
,
0
,
p
1
(
x
)
<
k
p
0
(
x
)
.
{\displaystyle \phi (x)={\begin{cases}1,\quad p_{1}(x)>kp_{0}(x),\\0,\quad p_{1}(x)<kp_{0}(x).\end{cases}}}
2
最大功效检验的充分条件 ：满足上述条件1和2的检验在显著性水平为
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
最大功效检验的必要条件 ：若检验
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
k
{\displaystyle \,k\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
几乎处处 满足条件2。除非存在显著性水平小于
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
1
{\displaystyle \,1\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
上述表述中的
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
{\displaystyle \,E_{0}(\phi (X))\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
另一种简化后的表述则只包含了充分条件部分：
内曼-皮尔逊引理 — 若检验
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
P
1
(
x
)
P
0
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{P_{0}(x)}}.}
大于某常数
k
{\displaystyle \,k\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \,\phi (x)=1\,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
證明
记概率分布
P
0
,
P
1
{\displaystyle \,P_{0},P_{1}\,}
概率质量函数 分别为
p
0
,
p
1
{\displaystyle \,p_{0},p_{1}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
0
,
1
{\displaystyle \,0,1\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
伯努利分布 的随机变量。它的显著性水平
P
0
(
ϕ
(
X
)
=
1
)
{\displaystyle P_{0}(\phi (X)=1)}
即是假设
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
.
{\displaystyle E_{0}(\phi (X)).}
它的统计功效
P
1
(
ϕ
(
X
)
=
0
)
{\displaystyle P_{1}(\phi (X)=0)}
即是假设
H
1
{\displaystyle \,H_{1}\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
E
1
(
ϕ
(
X
)
)
.
{\displaystyle E_{1}(\phi (X)).}
若
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\phi (x)\,}
p
1
(
x
)
>
k
p
0
(
x
)
{\displaystyle \,p_{1}(x)>kp_{0}(x)\,}
1
{\displaystyle \,1\,}
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
=
α
{\displaystyle \,E_{0}(\phi (X))=\alpha \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
ϕ
∗
{\displaystyle \,\phi ^{*}\,}
E
0
(
ϕ
∗
(
X
)
)
≤
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
=
α
{\displaystyle \,E_{0}(\phi ^{*}(X))\leq E_{0}(\phi (X))=\alpha \,}
ϕ
∗
(
x
)
[
p
1
(
x
)
−
k
p
0
(
x
)
]
≤
ϕ
(
x
)
[
p
1
(
x
)
−
k
p
0
(
x
)
]
.
{\displaystyle \phi ^{*}(x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)]\leq \phi (x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)].}
这是因为若
ϕ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \,\phi (x)=1\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
p
1
(
x
)
>
k
p
0
(
x
)
{\displaystyle \,p_{1}(x)>kp_{0}(x)\,}
ϕ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \,\phi (x)=0\,}
p
1
(
x
)
<
k
p
0
(
x
)
{\displaystyle \,p_{1}(x)<kp_{0}(x)\,}
对不等式两侧关于
x
{\displaystyle \,x\,}
E
1
(
ϕ
∗
(
X
)
)
−
k
E
0
(
ϕ
∗
(
X
)
)
≤
E
1
(
ϕ
(
X
)
)
−
k
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
.
{\displaystyle E_{1}(\phi ^{*}(X))-kE_{0}(\phi ^{*}(X))\leq E_{1}(\phi (X))-kE_{0}(\phi (X)).}
因此
k
[
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
−
E
0
(
ϕ
∗
(
X
)
)
]
≤
E
1
(
ϕ
(
X
)
)
−
E
1
(
ϕ
∗
(
X
)
)
.
{\displaystyle k[E_{0}(\phi (X))-E_{0}(\phi ^{*}(X))]\leq E_{1}(\phi (X))-E_{1}(\phi ^{*}(X)).}
由于
ϕ
∗
{\displaystyle \,\phi ^{*}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
ϕ
∗
{\displaystyle \,\phi ^{*}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
若
x
{\displaystyle \,x\,}
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
σ
2
{\displaystyle \,\sigma ^{2}\,}
σ
2
{\displaystyle \,\sigma ^{2}\,}
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
μ
=
0
{\displaystyle \,\mu =0\,}
H
1
{\displaystyle \,H_{1}\,}
μ
=
μ
1
>
0
{\displaystyle \,\mu =\mu _{1}>0\,}
p
1
(
x
)
p
0
(
x
)
=
exp
[
−
(
x
−
μ
1
)
2
/
(
2
σ
2
)
]
exp
[
−
x
2
/
(
2
σ
2
)
]
=
exp
(
μ
1
x
σ
2
−
μ
1
2
2
σ
2
)
.
{\displaystyle {\frac {p_{1}(x)}{p_{0}(x)}}={\frac {\exp[-(x-\mu _{1})^{2}/(2\sigma ^{2})]}{\exp[-x^{2}/(2\sigma ^{2})]}}=\exp \left({\frac {\mu _{1}x}{\sigma ^{2}}}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}
由于指数函数 单调递增 ，似然比
p
1
(
x
)
/
p
0
(
x
)
>
k
{\displaystyle \,{p_{1}(x)}/{p_{0}(x)}>k\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
x
>
k
′
{\displaystyle \,x>k'\,}
显著性水平为
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
P
0
(
X
>
k
′
)
=
α
{\displaystyle \,P_{0}(X>k')=\alpha \,}
k
′
=
σ
z
1
−
α
{\displaystyle \,k'=\sigma z_{1-\alpha }\,}
z
1
−
α
{\displaystyle \,z_{1-\alpha }\,}
标准正态分布 的第
(
1
−
α
)
{\displaystyle \,(1-\alpha )\,}
分位数 。因此，对这一问题统计功效最大的检验方法为在
X
>
σ
z
1
−
α
{\displaystyle \,X>\sigma z_{1-\alpha }\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
Lehmann, E. L.; Romano, Joseph P., Testing Statistical Hypotheses, Fourth Edition, Springer, 2022, ISBN 978-3-030-70578-7（英语） Rice, John A., Mathematical Statistics and Data Analysis, Third Edition, Duxbury, 2007, ISBN 0-534-39942-8（英语） Neyman, J.; Pearson, E. S., On the Problem of the Most Efficient Tests of Statistical Hypotheses, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1933, 231 : 289–337, doi:10.1098/rsta.1933.0009 （英语）
![{\displaystyle \phi ^{*}(x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)]\leq \phi (x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3072b870f9ce404aab601b9675eea8451d27d58c)
![{\displaystyle k[E_{0}(\phi (X))-E_{0}(\phi ^{*}(X))]\leq E_{1}(\phi (X))-E_{1}(\phi ^{*}(X)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84778074ad344b100227fcc28c656675b4dd8f3e)
![{\displaystyle {\frac {p_{1}(x)}{p_{0}(x)}}={\frac {\exp[-(x-\mu _{1})^{2}/(2\sigma ^{2})]}{\exp[-x^{2}/(2\sigma ^{2})]}}=\exp \left({\frac {\mu _{1}x}{\sigma ^{2}}}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2985128a6ceba65fe36802db89fc296fc035de62)
