本条目中,向量 與标量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小則用
r
{\displaystyle r\,\!}
來表示。
威廉·哈密顿
卡爾·雅可比
在物理學 裏,哈密頓-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi equation,HJE) 是經典力學 的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學 、拉格朗日力學 、哈密頓力學 ,這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恆 的物理量 方面,特別有用處。有時候,雖然物理問題的本身無法完全解析,哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。
HJE 是经典哈密顿量 一个正则变换 ,经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程 ,方程式之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程 的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程,每个变量对应于一个坐标,而哈密顿方程是一个一阶线性方程组,每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题,例如开普勒问题 。
HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動 的一種力學表述。因此,HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標(早至 18 世紀,約翰·白努利 和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂 的年代);那就是,尋找波傳播 與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程式 與薛丁格方程式 很相似;但並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學 最近的門階。
哈密頓-雅可比方程是一個一階非线性偏微分方程式 。用數學表達
H
(
q
1
,
…
,
q
N
;
∂
S
∂
q
1
,
…
,
∂
S
∂
q
N
;
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}\left(q_{1},\ \dots ,q_{N};\ {\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\ \dots ,\ {\frac {\partial S}{\partial q_{N}}};\ t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
;
其中,
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
是哈密頓量 ,未知函數
S
(
q
1
,
…
,
q
N
;
a
1
,
…
,
a
N
;
t
)
{\displaystyle S(q_{1},\ \dots ,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots ,\ a_{N};\ t)}
稱為哈密頓主函數 ,
(
q
1
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle (q_{1},\ \dots ,\ q_{N})}
是廣義座標 ,
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle (a_{1},\ \dots ,\ a_{N})}
是積分常數,
t
{\displaystyle t}
是時間。
假若能夠找到哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
的形式,就可以計算出廣義坐標
(
q
1
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle (q_{1},\ \dots ,\ q_{N})}
與廣義動量
(
p
1
,
…
,
p
N
)
{\displaystyle (p_{1},\ \dots ,\ p_{N})}
隨時間的演變。這樣,可以完全地解析物理系統隨時間的演化。
哈密頓-雅可比方程是一個一階非线性偏微分方程式 ;其中,函數
S
(
q
1
,
…
,
q
N
;
a
1
,
…
,
a
N
;
t
)
{\displaystyle S(q_{1},\ \dots ,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots ,\ a_{N};\ t)}
有
N
{\displaystyle N}
個廣義坐標
q
1
,
…
,
q
N
{\displaystyle q_{1},\dots ,q_{N}}
,和
N
{\displaystyle N}
個獨立的積分常數
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle (a_{1},\ \dots ,\ a_{N})}
。在 HJE 中,哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
有一个很有意思的属性,它是一種经典作用量 。
與拉格朗日力學的拉格朗日方程 比較,哈密頓力學裏使用共軛動量 而非廣義速度 。並且,哈密頓方程 乃是一組
2
N
{\displaystyle 2N}
個一階微分方程式,用來表示
N
{\displaystyle N}
個廣義坐標和
N
{\displaystyle N}
個廣義動量隨時間的演變,而拉格朗日方程 則是一組
N
{\displaystyle N}
個二階微分方程式,用來表示
N
{\displaystyle N}
個廣義坐標隨時間的演變。
因為 HJE 等價於一個最小積分問題(像哈密頓原理 ), HJE 可以用於許多關於變分法 的問題。更推廣地,在數學與物理的其它分支,像動力系統 、辛幾何 、量子混沌理論 ,都可以用 HJE 來解析問題。例如,HJE 可以用來找尋黎曼流形 的測地線 ,這是黎曼幾何 一個很重要的變分法問題。
在哈密頓力學 裏,正則變換 將一組正則坐標
(
q
,
p
)
{\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}
變換為一組新的正則坐標
(
Q
,
P
)
{\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}
,而同時維持哈密頓方程式的型式(稱為型式不變性 )。舊的哈密頓方程式為
q
˙
=
∂
H
∂
p
{\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}}
,
p
˙
=
−
∂
H
∂
q
{\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}}
;
新的哈密頓方程式為
Q
˙
=
∂
K
∂
P
{\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}}
,
P
˙
=
−
∂
K
∂
Q
{\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}}
;
這裏,
H
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}
、
K
(
Q
,
P
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量,
t
{\displaystyle t}
是時間。
假若,使用第二型生成函數
G
2
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
來生成新正則坐標,則新舊正則坐標的關係為
∂
G
2
∂
q
=
p
{\displaystyle {\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {p} }
,
∂
G
2
∂
P
=
Q
{\displaystyle {\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {Q} }
。
而新舊哈密頓量的關係為
K
=
H
+
∂
G
2
∂
t
{\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}
。
(條目正則變換 有更詳細的说明。)
假若,可以找到一個第二型生成函數
S
=
G
2
{\displaystyle S=G_{2}}
。這生成函數使新哈密頓量
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
恆等於 0 。稱這個生成函數
S
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}
為哈密頓主函數 。那麼,新哈密頓量
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單:
P
˙
=
Q
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}
。
這樣,新正則坐標都成為運動常數
a
=
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\ \ldots ,\ a_{N})}
、
b
=
(
b
1
,
…
,
b
N
)
{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},\ \ldots ,\ b_{N})}
:
P
=
a
{\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {a}}}
,
Q
=
b
{\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {b}}}
。
由於
p
=
∂
S
∂
q
{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}}
,代入舊哈密頓量,則可得到哈密頓-雅可比方程:
H
(
q
,
∂
S
∂
q
,
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},\ t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
。
解析問題的重要關鍵是必須找到哈密頓主函數
S
(
q
,
a
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}
的方程式。一旦找到這方程式,因為
p
=
∂
S
(
q
,
a
,
t
)
∂
q
{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}{\partial \mathbf {q} }}}
,(1)
Q
=
b
=
∂
S
(
q
,
a
,
t
)
∂
a
{\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {b}}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}{\partial {\boldsymbol {a}}}}}
。(2)
給予
q
{\displaystyle \mathbf {q} }
與
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
在時間
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
的初始值,
q
0
{\displaystyle \mathbf {q} _{0}}
與
p
0
{\displaystyle \mathbf {p} _{0}}
,可以求出運動常數
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
,
b
{\displaystyle {\boldsymbol {b}}}
。知道這兩組運動常數,立刻可以得到舊正則坐標
q
{\displaystyle \mathbf {q} }
與
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
隨時間的演變。
假設,哈密頓量不顯含時:
∂
H
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0}
。那麼,
d
H
(
q
,
p
,
t
)
d
t
=
∂
H
∂
p
⋅
p
˙
+
∂
H
∂
q
⋅
q
˙
+
∂
H
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0}
。
哈密頓量是一個運動常數,標記為
a
H
{\displaystyle a_{\mathcal {H}}}
:
H
(
q
,
p
)
=
a
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}
,
∂
S
∂
t
=
K
−
H
=
−
a
H
{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\mathcal {K}}-{\mathcal {H}}=-a_{\mathcal {H}}}
。
哈密頓主函數可以分離成兩部分:
S
=
W
(
q
,
a
)
−
a
H
t
{\displaystyle S=W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})-a_{\mathcal {H}}t}
;
其中,不含時間的函數
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}
稱為哈密頓特徵函數 。
思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函數
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}
為一個第二型生成函數
G
2
{\displaystyle G_{2}}
:
p
=
∂
W
∂
q
{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}}
,
Q
=
∂
W
∂
a
{\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {a}}}}}
。
那麼,哈密頓-雅可比方程變為
H
(
q
,
∂
W
∂
q
)
=
a
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }})=a_{\mathcal {H}}}
。
由於哈密頓特徵函數不顯含時,新舊哈密頓量的關係為
K
=
H
−
a
H
{\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}-a_{\mathcal {H}}}
;
新正則坐標隨時間的導數變為
P
˙
=
−
∂
K
∂
Q
=
0
,
{\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!}
,
Q
˙
1
=
∂
K
∂
a
1
=
1
{\displaystyle {\dot {Q}}_{1}={\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial a_{1}}}=1}
,
{\displaystyle \qquad \qquad }
設定
a
1
{\displaystyle a_{1}}
為
a
H
{\displaystyle a_{\mathcal {H}}}
,
Q
˙
i
=
∂
K
∂
a
i
=
0
{\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial a_{i}}}=0}
,
{\displaystyle \qquad \qquad }
i
>
1
{\displaystyle i>1}
。
所以,新正則坐標變為
P
=
a
{\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {a}}}
,
Q
1
=
t
+
b
1
{\displaystyle Q_{1}=t+b_{1}}
,
Q
i
=
b
i
,
I
>
1
{\displaystyle Q_{i}=b_{i},\qquad \qquad I>1}
。
假若,能找到哈密頓特徵函數
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}
,給予舊廣義坐標
q
{\displaystyle \mathbf {q} }
與舊廣義動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
在時間
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
的初始值,
q
0
{\displaystyle \mathbf {q} _{0}}
與
p
0
{\displaystyle \mathbf {p} _{0}}
,依照前面所述方法,就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。
哈密頓-雅可比方程最有用的時候,是當它可以使用分離變數法 ,來直接地辨明運動常數 。假設,HJE 可以分為兩部分。一部分只跟廣義坐標
q
k
{\displaystyle q_{k}}
、哈密頓主函數的偏導數
∂
S
∂
q
k
{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}
有關,標記這部分為
ψ
(
q
k
,
∂
S
∂
q
k
)
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}
。另一部分跟
q
k
{\displaystyle q_{k}}
、
∂
S
∂
q
k
{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}
無關。對於這狀況,哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
可以分離為兩個函數。一個函數
S
k
{\displaystyle S_{k}}
除了廣義坐標
q
k
{\displaystyle q_{k}}
以外,跟任何其它廣義坐標無關。另外一個函數
S
r
e
m
{\displaystyle S_{\rm {rem}}}
跟
q
k
{\displaystyle q_{k}}
無關。
S
=
S
k
(
q
k
;
P
)
+
S
r
e
m
(
q
1
,
…
,
q
k
−
1
,
q
k
+
1
,
…
,
q
N
;
P
;
t
)
{\displaystyle S=S_{k}(q_{k};\ \mathbf {P} )+S_{\rm {rem}}(q_{1},\ \dots ,\ q_{k-1},\ q_{k+1},\ \ldots ,\ q_{N};\ \mathbf {P} ;\ t)}
。
由於每一個廣義動量都是運動常數,
P
=
a
{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {a} }
,函數
S
k
{\displaystyle S_{k}}
只跟廣義座標
q
k
{\displaystyle q_{k}}
有關:
S
k
(
q
k
;
P
)
=
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k};\ \mathbf {P} )=S_{k}(q_{k})}
,
ψ
(
q
k
,
∂
S
∂
q
k
)
=
ψ
(
q
k
,
d
S
k
d
q
k
)
=
ψ
(
q
k
)
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)=\psi \left(q_{k},\ {\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\psi (q_{k})}
。
若將哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
代入 HJE,則可以觀察到,
q
k
{\displaystyle q_{k}}
只出現於函數
ψ
{\displaystyle \psi }
內部,而不出現於 HJE 的任何其它地方。所以,函數
ψ
{\displaystyle \psi }
必須等於常數(在這裏標記為
Γ
k
{\displaystyle \Gamma _{k}}
)。這樣,可得到一個一階常微分方程 :
ψ
(
q
k
,
d
S
k
d
q
k
)
=
Γ
k
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ {\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}}
。
在某些問題裏,很幸運地,函數
S
{\displaystyle S}
可以完全的分離為
N
{\displaystyle N}
個函數
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k})}
:
S
=
S
1
(
q
1
)
+
S
2
(
q
2
)
+
⋯
+
S
N
(
q
N
)
−
a
H
t
{\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-a_{\mathcal {H}}t}
。
這些問題的偏微分方程可以分離為
N
{\displaystyle N}
個常微分方程。
哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
的可分性,相關於哈密頓量和廣義坐標的選擇。假若,一個物理系統符合施特克爾條件 (Staeckel conditions ) ,則哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
可以完全分離。以下為用幾種正交座標來完全分離 HJE 的例子。
採用球坐標
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}
,假設一個物理系統的哈密頓量為
H
=
1
2
m
[
p
r
2
+
p
θ
2
r
2
+
p
ϕ
2
r
2
sin
2
θ
]
+
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\ \theta ,\ \phi )}
;
其中,
(
p
r
,
p
θ
,
p
ϕ
)
{\displaystyle (p_{r},\ p_{\theta },\ p_{\phi })}
是廣義動量,
U
{\displaystyle U}
為位勢 函數,不含時間。
那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為
H
=
1
2
m
[
(
∂
S
∂
r
)
2
+
1
r
2
(
∂
S
∂
θ
)
2
+
1
r
2
sin
2
θ
(
∂
S
∂
ϕ
)
2
]
+
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {\partial S}{\partial \phi }}\right)^{2}\right]+U(r,\ \theta ,\ \phi )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
;
其中,
S
{\displaystyle S}
是哈密頓主函數。
假若,位勢 函數
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle U(r,\ \theta ,\ \phi )}
的形式可以進一步設定為
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
U
r
(
r
)
+
U
θ
(
θ
)
r
2
+
U
ϕ
(
ϕ
)
r
2
sin
2
θ
{\displaystyle U(r,\ \theta ,\ \phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}
;
其中,
U
r
(
r
)
{\displaystyle U_{r}(r)}
、
U
θ
(
θ
)
{\displaystyle U_{\theta }(\theta )}
、
U
ϕ
(
ϕ
)
{\displaystyle U_{\phi }(\phi )}
,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。將完全分離的解答
S
=
S
r
(
r
)
+
S
θ
(
θ
)
+
S
ϕ
(
ϕ
)
−
a
H
t
{\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-a_{\mathcal {H}}t}
代入 HJE ,會得到方程式
[
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
]
+
1
r
2
[
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
]
+
1
r
2
sin
2
θ
[
(
d
S
ϕ
d
ϕ
)
2
+
2
m
U
ϕ
(
ϕ
)
]
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left[\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)\right]+{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=2ma_{\mathcal {H}}}
。
變數
ϕ
{\displaystyle \phi }
只出現於公式左手邊的第三個方括弧內;其它變數都不出現於公式的這部分。所以,可以將這部分孤立出來,成為一個常微分方程:
(
d
S
ϕ
d
ϕ
)
2
+
2
m
U
ϕ
(
ϕ
)
=
Γ
ϕ
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}
;
其中,
Γ
ϕ
{\displaystyle \Gamma _{\phi }}
是運動常數 。
簡化的 HJE 跟
ϕ
{\displaystyle \phi }
無關:
[
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
]
+
1
r
2
[
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
+
Γ
ϕ
sin
2
θ
]
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left[\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)\right]+{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=2ma_{\mathcal {H}}}
。
同樣地,可以將變數
θ
{\displaystyle \theta }
出現的部分孤立出來,成為一個常微分方程:
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
+
Γ
ϕ
sin
2
θ
=
Γ
θ
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}
;
其中,
Γ
θ
{\displaystyle \Gamma _{\theta }}
是運動常數。
剩下的是一個徑向距離函數
S
r
{\displaystyle S_{r}}
的常微分方程。:
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
+
Γ
θ
r
2
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{r^{2}}}=2ma_{\mathcal {H}}}
。
這樣,可以完全地分離 HJE 。
採用橢圓柱坐標
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ z)}
,假設假設一個物理系統的哈密頓量為
H
=
p
μ
2
+
p
ν
2
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
+
p
z
2
2
m
+
U
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\ \nu ,\ z)}
其中,
(
p
μ
,
p
ν
,
p
z
)
{\displaystyle (p_{\mu },\ p_{\nu },\ p_{z})}
是廣義動量,
U
{\displaystyle U}
為位勢 函數,不含時間。
那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為
H
=
1
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
(
∂
S
∂
μ
)
2
+
(
∂
S
∂
ν
)
2
]
+
1
2
m
(
∂
S
∂
z
)
2
+
U
(
μ
,
ν
,
z
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2ma^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial \mu }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial \nu }}\right)^{2}\right]+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}+U(\mu ,\ \nu ,\ z)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
。
假若,位勢 函數
U
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle U(\mu ,\ \nu ,\ z)}
的形式可以進一步設定為
U
(
μ
,
ν
,
z
)
=
U
μ
(
μ
)
+
U
ν
(
ν
)
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
+
U
z
(
z
)
{\displaystyle U(\mu ,\ \nu ,\ z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}
;
其中,
U
μ
(
μ
)
{\displaystyle U_{\mu }(\mu )}
、
U
ν
(
ν
)
{\displaystyle U_{\nu }(\nu )}
、
U
z
(
z
)
{\displaystyle U_{z}(z)}
,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答
S
=
S
μ
(
μ
)
+
S
ν
(
ν
)
+
S
z
(
z
)
−
a
H
t
{\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-a_{\mathcal {H}}t}
。將這猜想公式代入 HJE ,
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
+
1
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
]
=
a
H
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=a_{\mathcal {H}}}
。
公式左手邊的前兩個項目只跟變量
z
{\displaystyle z}
有關;其它的項目都跟
z
{\displaystyle z}
無關。所以,可以將那兩個項目分離出來,成為一個常微分方程:
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
=
Γ
z
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}
;
其中,
Γ
z
{\displaystyle \Gamma _{z}}
是運動常數。
簡化的 HJE 跟
z
{\displaystyle z}
有關:
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
=
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
(
a
H
−
Γ
z
)
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(a_{\mathcal {H}}-\Gamma _{z}\right)}
。
這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程:
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
(
Γ
z
−
a
H
)
sinh
2
μ
=
Γ
μ
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}
,
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
+
2
m
a
2
(
Γ
z
−
a
H
)
sin
2
ν
=
−
Γ
μ
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)\sin ^{2}\nu =-\Gamma _{\mu }}
。
其中,
Γ
μ
{\displaystyle \Gamma _{\mu }}
是運動常數。
這樣,可以完全地分離 HJE 。
採用拋物柱面坐標
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
,假設假設一個物理系統的哈密頓量為
H
=
p
σ
2
+
p
τ
2
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
+
p
z
2
2
m
+
U
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\ \tau ,\ z)}
;
其中,
(
p
σ
,
p
τ
,
p
z
)
{\displaystyle (p_{\sigma },\ p_{\tau },\ p_{z})}
是廣義動量,
U
{\displaystyle U}
為位勢 函數,不含時間。
那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為
H
=
1
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
[
(
∂
S
∂
σ
)
2
+
(
∂
S
∂
τ
)
2
]
+
1
2
m
(
∂
S
∂
z
)
2
+
U
(
σ
,
τ
,
z
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial \sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial \tau }}\right)^{2}\right]+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}+U(\sigma ,\ \tau ,\ z)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
。
假若,位勢 函數
U
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle U(\sigma ,\ \tau ,\ z)}
的形式可以進一步設定為
U
(
σ
,
τ
,
z
)
=
U
σ
(
σ
)
+
U
τ
(
τ
)
σ
2
+
τ
2
+
U
z
(
z
)
{\displaystyle U(\sigma ,\ \tau ,\ z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}
;
其中,
U
σ
(
σ
)
{\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}
、
U
τ
(
τ
)
{\displaystyle U_{\tau }(\tau )}
、
U
z
(
z
)
{\displaystyle U_{z}(z)}
,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答
S
=
S
σ
(
σ
)
+
S
τ
(
τ
)
+
S
z
(
z
)
−
a
H
t
{\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-a_{\mathcal {H}}t}
。將這猜想公式代入 HJE ,
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
+
1
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
[
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
U
τ
(
τ
)
]
=
a
H
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=a_{\mathcal {H}}}
。
公式左手邊的前兩個項目只跟變量
z
{\displaystyle z}
有關;其它的項目都跟
z
{\displaystyle z}
無關。所以,可以將那兩個項目分離出來,成為一個常微分方程:
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
=
Γ
z
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}
;
其中,
Γ
z
{\displaystyle \Gamma _{z}}
是運動常數。
簡化的HJE跟
z
{\displaystyle z}
無關:
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
U
τ
(
τ
)
=
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
(
a
H
−
Γ
z
)
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(a_{\mathcal {H}}-\Gamma _{z}\right)}
。
這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程:
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
σ
2
(
Γ
z
−
a
H
)
=
Γ
σ
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)=\Gamma _{\sigma }}
,
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
a
2
U
τ
(
τ
)
+
2
m
τ
2
(
Γ
z
−
a
H
)
=
−
Γ
σ
{\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)=-\Gamma _{\sigma }}
;
其中,
Γ
σ
{\displaystyle \Gamma _{\sigma }}
是運動常數。
這樣,可以完全地分離HJE。
薛定諤將哈密頓類比延伸至量子力學與波動光學之間。[ 1]
「哈密頓類比」是威廉·哈密頓 在研究古典力學 時給出的理論,又稱為「光學-力學類比」;哈密頓指出,在古典力學裏粒子的運動軌道,就如同在幾何光學 裏光線的傳播路徑;垂直於這軌道的等作用量 曲面,就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面;描述粒子運動的最小作用量原理 ,就如同描述光線傳播的費馬原理 。哈密頓發現,使用哈密頓-雅可比方程式,可以推導出最小作用量原理與費馬原理;同樣的形式論,可以描述光的物理行為,不論光是由遵守費馬原理的光線組成,還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。[ 1]
很多光的性質,例如,衍射 、干涉 等等,無法用幾何光學的理論來作解釋,必須要用到波動光學的理論來證實。這意味著幾何光學不等價於波動光學,幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道曲率半徑 的極限案例。哈密頓又研究發現,使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守惠更斯原理 的光波,只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前 。薛丁格尋思,古典力學與量子力學之間的關係,就如同幾何光學與波動光學之間的關係;哈密頓-雅可比方程式應該對應於量子力學的波動方程式在某種極限的案例,而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限(或按照對應原理 ,普朗克常數趨於0的極限);按照先前哈密頓類比的模式,依樣畫葫蘆,應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確,經過一番努力,他成功地推導出薛丁格方程式 。[ 1] [ 2]
設想一個粒子,運動於一個保守的位勢
U
(
r
)
{\displaystyle U(\mathbf {r} )}
,它的哈密頓-雅可比方程為[ 2]
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
;
其中,
S
(
r
,
a
;
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}};\ t)}
是哈密頓主函數。
由於位勢與時間無關,哈密頓主函數可以分離成兩部分:
S
=
W
(
r
,
a
)
−
E
t
{\displaystyle S=W(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}})-Et}
;
其中,不含時的函數
W
(
r
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}})}
是哈密頓特徵函數,
E
{\displaystyle E}
是能量。
將哈密頓主函數的公式代入哈密頓-雅可比方程,稍加運算,可以得到
|
∇
S
|
=
2
m
(
E
−
U
)
{\displaystyle |{\boldsymbol {\nabla }}S|={\sqrt {2m(E-U)}}}
;
哈密頓主函數對於時間的全導數是
d
S
d
t
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
。
哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
的常數等值曲面
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
在空間移動的方程式為
0
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
=
−
E
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle 0={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-E+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
。
所以,在設定等值曲面的正負面後,
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
朝著法線 方向移動的速度
u
{\displaystyle u}
是
u
=
d
r
d
t
=
E
|
∇
S
|
=
E
2
m
(
E
−
U
)
{\displaystyle u={\frac {dr}{dt}}={\frac {E}{|\nabla S|}}={\frac {E}{\sqrt {2m(E-U)}}}}
。
這速度
u
{\displaystyle u}
是相速度 ,而不是粒子的移動速度
v
{\displaystyle v}
:
v
=
|
∇
S
|
m
=
2
(
E
−
U
)
m
{\displaystyle v={\frac {|{\boldsymbol {\nabla }}S|}{m}}={\sqrt {\frac {2(E-U)}{m}}}}
。
想像
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
為一個相位 曲面。既然粒子具有波粒二象性 ,試著給予粒子一個相位與
S
{\displaystyle S}
成比例的波函數 :
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
S
/
κ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{iS/\kappa }}
;
其中,
κ
{\displaystyle \kappa }
是常數,
A
(
r
)
{\displaystyle A(\mathbf {r} )}
是跟位置有關的係數函數。
將哈密頓主函數的公式代入
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}
波函數,
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
κ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\kappa }}
。
注意到
E
/
κ
{\displaystyle E/\kappa }
的因次必須是頻率,薛丁格突然想到愛因斯坦的光電效應理論
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle E=\hbar \omega }
;其中,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是約化普朗克常數 ,
ω
{\displaystyle \omega }
是角頻率 。他嘗試設定
κ
=
ℏ
{\displaystyle \kappa =\hbar }
,粒子的波函數
Ψ
{\displaystyle \Psi }
變為
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
ℏ
=
ψ
(
r
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\hbar }=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}
;
其中,
ψ
(
r
)
=
A
(
r
)
e
i
W
(
r
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }}
。
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}
的波動方程式 為
∇
2
Ψ
−
1
u
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}
。
將
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}
波函數代入波動方程式,
經過一番運算,得到
∇
2
Ψ
−
E
2
ℏ
2
u
2
Ψ
=
∇
2
Ψ
−
2
m
(
E
−
U
)
ℏ
2
Ψ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}u^{2}}}\Psi =\nabla ^{2}\Psi -{\frac {2m(E-U)}{\hbar ^{2}}}\Psi =0}
。
注意到
E
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
{\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
。稍加編排,可以推導出含時薛丁格方程式:
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
U
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}
。
逆反過來,從薛丁格方程式開始:[ 3] :102-103
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
U
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}
。
猜想
Ψ
{\displaystyle \Psi }
的形式為
Ψ
=
ψ
(
r
)
e
i
S
(
r
,
t
)
/
ℏ
{\displaystyle \Psi =\psi (\mathbf {r} )e^{iS(\mathbf {r} ,\,t)/\hbar }}
。
將
Ψ
{\displaystyle \Psi }
代入薛丁格方程式,稍加運算,可以得到
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
i
ℏ
2
m
∇
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S}
。
取經典極限,
ℏ
→
0
{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}
,則可得到哈密頓-雅可比方程:
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
。
由於這取極限的動作,在希爾伯特空間 裏對於態向量的描述改變為在相空間 裏對於粒子位置與動量的描述。薛丁格方程屬於線性方程 ,假若
χ
1
{\displaystyle \chi _{1}}
、
χ
2
{\displaystyle \chi _{2}}
皆是薛丁格方程的解答,則它們的線性疊加
c
1
χ
1
+
c
2
χ
2
{\displaystyle c_{1}\chi _{1}+c_{2}\chi _{2}}
必定也是解答,其中
c
1
{\displaystyle c_{1}}
、
c
2
{\displaystyle c_{2}}
皆是複係數。哈密頓-雅可比方程屬於非線性方程 ,假若
f
1
{\displaystyle f_{1}}
、
f
2
{\displaystyle f_{2}}
皆是哈密頓-雅可比方程的解答,則它們的線性疊加
c
1
f
1
+
c
2
f
2
{\displaystyle c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}}
必定不是解答。這意味著,在量子力學可以觀察得到的量子疊加 現象,無法出現在經典力學。但是,簡單地推論,經典力學應是量子力學的極限案例,為什麼量子疊加現象無法出現於經典力學裏?這不僅僅是個理論問題,在實驗室裏,時常可以觀察到微觀粒子呈現出量子疊加現象,為什麼無法觀察到宏觀物體呈現出同樣的現象[ 4] :第1A節 ?更詳盡內容,請參閱條目量子退相干 。
重力場可以用哈密頓-雅可比方程表達為
g
i
k
∂
S
∂
x
i
∂
S
∂
x
k
−
m
2
c
2
=
0
{\displaystyle g^{ik}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{k}}}}-m^{2}c^{2}=0}
;
其中,
g
i
k
{\displaystyle g^{ik}}
是度規張量 逆變 (contravariant ) 分量,
m
{\displaystyle m}
是固有質量,
c
{\displaystyle c}
是光速 。
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