拋物柱面坐標系的幾個坐標曲面。紅色拋物柱面的
σ
=
2
{\displaystyle \sigma =2}
τ
=
1
{\displaystyle \tau =1}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
直角坐標 大約為
(
2
,
−
1.5
,
2
)
{\displaystyle (2,\ -1.5,\ 2)}
拋物線坐標系的
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
拋物柱面坐標系 （英語：Parabolic cylindrical coordinates ）是一種三維正交坐標系 。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ，則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面 是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如，物體邊緣的位勢論 。
直角坐標
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
x
=
σ
τ
{\displaystyle x=\sigma \tau }
y
=
1
2
(
τ
2
−
σ
2
)
{\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}
z
=
z
{\displaystyle z=z}
其中，
σ
≥
0
{\displaystyle \sigma \geq 0}
τ
≥
0
{\displaystyle \tau \geq 0}
坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
凹性 往 +y-軸的拋物柱面 ：
2
y
=
x
2
σ
2
−
σ
2
{\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}
而坐標
τ
{\displaystyle \tau }
凹性 往 -y-軸的拋物柱面 ：
2
y
=
−
x
2
τ
2
+
τ
2
{\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}
這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。
徑向距
r
{\displaystyle r}
r
=
x
2
+
y
2
=
1
2
(
σ
2
+
τ
2
)
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}
當解析經典力學 的反平方 連心力 問題時，假若採用拋物柱面坐標的哈密頓-亞可比方程式 ，則會用到這很有用的公式。參閱
拉普拉斯-龍格-冷次向量 [錨點失效 。
拋物柱面坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
z
{\displaystyle z}
h
σ
=
h
τ
=
σ
2
+
τ
2
{\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}
h
z
=
1
{\displaystyle h_{z}=1}
無窮小體積元素是
d
V
=
(
σ
2
+
τ
2
)
d
σ
d
τ
d
z
{\displaystyle dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz}
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
1
σ
2
+
τ
2
(
∂
2
Φ
∂
σ
2
+
∂
2
Φ
∂
τ
2
)
+
∂
2
Φ
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
其它微分算子，像
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
正交坐標系 條目內對應的一般公式。
拋物柱面坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程 或亥姆霍茲方程 這類的偏微分方程式 。在這些方程式裏，拋物柱面坐標允許分離變數法 的使用。個典型的例題是，有一塊半無限的平板導體 ，請問其周圍的電場 為什麼？應用拋物柱面坐標，我們可以精緻地分析這例題。
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