广义超几何函数(generalized hypergeometric function),有时也称超几何函数,是一个用幂级数定义的函数,其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数,而用“高斯超几何函数”一词代指 p=2、 q=1 时的广义超几何函数。
超几何函数是用幂级数定义的:
![{\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}{\frac {z}{1!}}+\beta _{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}{\frac {z^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ab0d0a151af3ba2b3639e7c665742acda64477)
其中相邻两项的系数之比 βn+1/βn 是关于 n 的有理函数,分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1,并取 β0=1,于是
![{\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i}+n)}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i}+n)}},\quad \forall n\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c5724ee0a567becbb2c5e0681c097e51a48022)
于是用阶乘幂可以将 βn 表示为
![{\displaystyle \beta _{n}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f741b4a0d40481536cb05841385977d3b5a1f8)
一般用下面的记号来表示超几何函数:
![{\displaystyle _{p}F_{q}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{p};b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{q};z)=\ _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a601ddfb472685a89a853e07afa9409ed509735)
当 ai 都不是非正整数(即负整数和 0)时,要求所有的 bi 都不是非正整数。当有至少一个 ai 是非正整数,且其中最大(绝对值最小)者为 k 时,超几何函数将截断为 -k 次多项式,这时允许 bi 中存在非正整数,但要求这些非正整数都小于 k。这都是为了保证在所有的 βn中,分母不为零。
下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。
当超几何函数截断为多项式时,显然收敛半径是无穷大。
除去这种特殊情况之外,用比值审敛法可知,当 p<q+1 时,收敛半径为无穷大,当 p=q+1 时,收敛半径为 1,剩下的情况收敛半径为 0(这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数,而函数本身则采用其它方式定义,如积分表达式)。
当级数的收敛半径为 1 时,级数在单位圆外不收敛,但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外,此时在单位圆上的敛散性较为复杂,不能使用比值审敛法,必须使用高斯审敛法来判断,结果如下,令
![{\displaystyle \gamma _{q}=\sum _{k=1}^{q}b_{k}-\sum _{k=1}^{p}a_{k},\quad r=\Re (\gamma _{q})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e768f9dbbc723696c93afa258a24c7ea9ef4fc5)
则
- 当 r>0 时,级数在单位圆上绝对收敛;
- 当 0≥r>-1 时,级数在单位圆上除 z=1 外收敛,但不绝对收敛;
- 当 -1≥r 时,级数在单位圆上发散。
复平面上的路径积分可以用来定义所有 ak 都不是非正整数时的广义超几何函数,包括上面说到的 p≥q+1 的情形。
下面只介绍 p+1>q 且级数不截断为多项式的情形(其它情形下,上面的幂级数定义已经是良好的定义,而下面的积分不收敛),这时超几何函数可以定义为:
![{\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d184c5c794c2f2c11cbc2cf2959157658c2b06d)
当 p=q 且级数不截断为多项式时,超几何函数既可以用上面的积分来定义,也可以用超几何级数定义。可以证明,两种定义是等价的,且定义出来的超几何函数都是整函数;
当 p=q+1 且级数不截断为多项式时,超几何函数既可以用上面的积分来定义,也可以用超几何级数定义,但级数定义只在 |z|<1 时有效,在这个区域内,两种定义是等价的,上式提供了级数定义的一个解析延拓;
当 p>q+1 且级数不截断为多项式时,超几何函数只能通过积分表达式定义,对应的超几何级数只在 z =0 处收敛,其它情况均发散,它是积分定义的超几何函数在 z=0 处的渐近级数,即
![{\displaystyle _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}},\quad p>q+1,z\rightarrow 0,|\arg z|<(p+1-q){\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375aba070281795dc36c3a42661626b42544da95)
![{\displaystyle {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};0\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732b7c4ae04e41f09e885f9cf8d5c3723ef7a766)
![{\displaystyle {}_{p+1}F_{q+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p},c\\b_{1},\ldots ,b_{q},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\ldots ,b_{q}\end{array}};tz\right]dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfa4e8a3e2955047362a5fab5e8fedff7380ba7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9e5f5589ca829bfbb3f82698f930b9006b49cd)
由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程:
.
就是指数函数。
![{\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7240ab48b322df73458156a81950b31f12f7a57)
![{\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02835bd6054a3a63e1e6672b62bcb86aa3e62a5b)
称为合流超几何极限函数(confluent hypergeometric limit functions),与贝塞尔函数有密切关联。
![{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot {}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1631fadff3c6ae717a43da94a5f45f7f5591fc16)
1F1 就是(第一类)合流超几何函数,也称 Kummer 函数。
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67782c87b72c6208df42fb457534e078a7e95d64)
另一方面,2F0 (此函数的级数表达式不收敛,因此必须通过积分表达式定义)与第二类合流超几何函数(又称Tricomi 函数)有如下关系:
![{\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39e6c5710fbd6d3c0b5a49285f5d46217ece24f)
事实上,它们都可以表示为高斯超几何函数的极限,
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce6e5a059c04293dc0159a2763fb6006c78440)
![{\displaystyle {}_{2}F_{0}(a,b;;z)=\lim _{c\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;cz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d95cfafd8d376375523205b121fbb023579c03d)
类似地,pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的极限。
不完全伽玛函数与这两个函数有关联:
![{\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c859ef42ade08f7c55e3886057eafcc7db918e2c)
![{\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fec14d53e582e7ad346c28f71b93daf7c88a2e)
就是高斯超几何函数,一般又简称超几何函数。
当 s 为非负整数时,多重对数函数 Lis 可以用超几何函数表示:
![{\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=z\cdot {}_{s+1}F_{s}\left[{\begin{array}{c}1,\ldots ,1\\2,\dots ,2\end{array}};z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c01e104b0f2f9a0aadeada158721b9efe9dbb52)
- Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
- Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113
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