柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。
如果函数
及
满足
- 在闭区间
上连续;
- 在开区间
内可微分;
- 对任意
;
那么在
内至少有一点
,使等式
![{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48989e59404d38e4197e241c85f17f498a1f1183)
或
柯西定理的几何意义
![{\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(\xi )=(g(b)-g(a))f\,'(\xi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f0b72b9e87676f11816ba308ce712de0e3d5c)
成立。
其几何意义为:用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦。
但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线,因为可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处,曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子
![{\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234d186efe5b19b35d51c698e33a39c50209abf1)
在区间[−1,1]上,曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。
柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。
首先,如果
,由罗尔定理,存在一点
使得
,与条件3矛盾。所以
。
令
。那么
在
上连续,
在
上可导,
。由罗尔定理,存在一点
使得
。即
。命题得证。