正切半角公式又称万能公式,这一组公式有四个功能:
- 将角统一为
[1];
- 将函数名称统一为
;
- 任意实数都可以
的形式表達,可用正切函数换元。
- 在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。
因此,这组公式被称为以切表弦公式,简称以切表弦。它们是由二倍角公式求得的。
![{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4331d15e171566984437fa575f9b984b17f4507)
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39a180960ab71cef2482471978417cb7ea86c75)
![{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffbc40ba4841cecdac52a4f9e8f8c2f4f62ae60)
![{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4c81c4b3c7e89ed1dc40a43eb6958d1f9ae271)
![{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a30bc19e552cffb32fa226b71184682ac5bdcb)
![{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c434562b3012294dcfaa75c4e194d2336fad130b)
而被称为萬能公式的原因是利用
的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {\eta }{2}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]{\frac {1-\tan {\frac {\theta }{2}}}{1+\tan {\frac {\theta }{2}}}}&={\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb96d59c84bd698e8c20f2248748d16d9d518895)
万能公式的证明[编辑]
由二倍角公式,有:
![{\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098f66f3e090c398fc813ae1350f2c4d1324217f)
再由同角三角函数间的关系,得出
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\tan \alpha }}={\frac {\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15b27ebbb68648e4873edd5e82c8c22c6e0e32e)
几何证明[编辑]
正切半角公式的几何证明
在单位圆内,
。根据相似关係,
,可得出
![{\displaystyle t={\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}={\frac {\sin \phi (1-\cos \phi )}{(1+\cos \phi )(1-\cos \phi )}}={\frac {1-\cos \phi }{\sin \phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827e401c8e140b4b36c9f459bc7bfbcc8642c8f0)
。
显然
。
双曲函数[编辑]
此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用,由双曲线右支上的一点
给出。从
到y轴给出了如下等式:
![{\displaystyle t=\tanh {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta +1}}={\frac {\cosh \theta -1}{\sinh \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d50eacc3e7ba6120196e6a361e7686e897fb521)
可以得到
|
|
|
|
|
|
|
|
|
和
|
|
|
卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。
在
而得出下面的双曲反正切函數和自然对数之间的关系:
![{\displaystyle \operatorname {artanh} t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4057c31d50a471e7ecd763add6fdd956318241b)
參考文獻[编辑]
外部連結[编辑]