在流體動力學上,開爾文環流定理(英語:Kelvin's circulation theorem,由第一代開爾文男爵威廉·湯姆森於1869年發表[1],因此以他命名)描述在徹體力保守的正壓理想流體中閉合曲線(包圍相同的流體元)的環量在流體運動時並不會隨時間而改變[2]。其數學描述為
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf4d5e697ca2bc0e4916c1aec143b40b36eecc3)
其中
為材料圍線
的環流。用更簡單的話來說,這條定理所指的是,若觀察閉合圍線並注意它一段時間(注意所有流體元的運動)的話,則始終兩者間的環流相等。
本定理在有黏性應力、非保守徹體力(例如科里奥利力)或非正壓的壓力-密度關係的情況下並不成立。
數學證明[编辑]
材料圍線
的環流
的定義為:
![{\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45bd3059c740301a3faf535621acac1250c9155d)
其中u為速度向量,ds為沿着閉合圍線的單元。
徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa315d017db63e9287b006b139696ef5a5696a2f)
其中D/Dt為實質導數,ρ為流體密度,p為密度,以及Φ為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。
正壓性條件意味着密度是壓力的函數,且為其唯一自變量,即
。
取環流的實質導數,得:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdb059db7331c5bc10ece5f3381d74787156ff0)
把主宰方程式代入第一項並使用斯托克斯定理,得:
![{\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3d77d24a011dada3138638b6453867890937ca)
最後的等式是源自
,它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數
的梯度的旋度皆為零這一事實
。
已知材料線元的時間進化由下式給出(可由實質導數的定義求得)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbb94a4721443ce95c7432fb96b75f43c037c9d)
因此
![{\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba28ba841abd8a77dac2ac348c873a7989dc9093)
使用交換律後再使用
。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。
由於第一項及第二項皆為零,得
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf4d5e697ca2bc0e4916c1aec143b40b36eecc3)
參考資料[编辑]
- ^ Sir W. Thomson. On Vortex Motion. Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 1869, 25: 217–260.
- ^ Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002