阿伏伽德罗常数

在物理学和化学中，亞佛加厥常数（符号： $N_{A}$ 或 $L$ ；英語：Avogadro constant）的定義是一摩爾物質中所含的組成粒子數（一般為原子或分子）^[1]，記做N_A。因此，它是聯繫粒子摩爾質量（即一摩爾時的質量），及其質量間的比例係數^[2]^[3]。其数值为：

國際單位制數值（2019年，人為定義）：7023602214076000000♠6.02214076×10²³ mol⁻¹^[4]
CODATA建議數值（2006年，基於實際測量所得）：7023602214085700000♠6.022140857(74)×10²³ mol⁻¹^[2]^[5]^[6]

較早的針對化學數量的定義中牽涉到另一個數，阿伏伽德罗数（英語：Avogadro number），歷史上這個詞與阿佛加德羅常數有着密切的關係。一開始阿佛加德羅數由让·佩兰定義為一克原子氢所含的分子數；後來則重新定義為12克碳-12所含的原子數量^[7]。因此，阿佛加德羅數是一個無量綱的數量，與用基本單位表示的阿佛加德羅常數數值一致。在國際單位制（SI）將摩爾加入基本單位後，所有化學數量的概念都必需被重定義。阿佛加德羅數及其定義已被阿佛加德羅常數取代。

各種單位下 $N_{A}$ 的數值^[8]
7023602214085700000♠6.022140857(74)×10²³ mol⁻¹
7026273159734000000♠2.73159734(12)×10²⁶ lb-mol⁻¹
7025170724843400000♠1.707248434(77)×10²⁵ oz-mol⁻¹

历史

阿佛加德羅常数以19世紀初期的意大利化學家阿莫迪歐·阿佛加德羅命名，在1811年他率先提出，氣體的體積（在某溫度與壓力下）與所含的分子或原子數量成正比，與該氣體的性質無關^[9]。法國物理學家让·佩兰於1909年提出，把常數命名為阿佛加德羅常數來紀念他^[10]。佩兰於1926年獲頒諾貝爾物理學獎，他研究一大課題就是各種量度阿佛加德羅常數的方法^[11]。

阿佛加德羅常數的值，最早由奧地利化學及物理學家約翰·約瑟夫·洛施米特於1865年所得，他透過計算某固定體積氣體內所含的分子數，成功估計出空氣中分子的平均直徑^[12]。前者的數值，即理想氣體的數量密度（英语：Number density），叫“洛施米特常數（英语：Loschmidt constant）”，就是以他命名的，這個常數大約與阿佛加德羅常數成正比。由於阿佛加德羅常數有時會用L表示，所以不要與洛施米特（Loschmidt）的 $L$ 混淆，而在德語文獻中可能時會把它們都叫作“洛施米特常數”，只能用計量單位來分辨提及的到底是哪一個^[13]。

要準確地量度出阿佛加德羅常數的值，需要在宏觀和微觀尺度下，用同一個單位，去量度同一個物理量。這樣做在早年並不可行，直到1910年，羅伯特·密立根成功量度到一個電子的電荷，才能夠借助單個電子的電荷來做到微觀量度。一摩爾電子的電荷是一個常數，叫法拉第常數，在麥可·法拉第於1834年發表的電解研究中有提及過。把一摩爾電子的電荷，除以單個電子的電荷，可得阿佛加德羅常數^[14] 。自1910年以來，新的計算能更準確地確定，法拉第常數及基本電荷的值（見下文#測量）。

让·佩兰最早提出阿佛加德羅數（ $N$ ）這樣一個名字，來代表一克分子的氧（根據當時的定義，即32克整的氧）^[10]，而這個詞至今仍被廣泛使用，尤其是入門課本^[15]改用阿佛加德羅常數（ $N_{A}$ ）這個名字，是1971年摩爾成為國際單位制基本單位^[16]後的事，因為自此物質的量就被認定是一個獨立的量綱^[17]。於是，阿佛加德羅數再也不是純數，因為帶一個計量單位：摩爾的倒數（mol⁻¹）。

儘管不用摩爾來量度物質的量是挺罕見的，但是阿佛加德羅常數可用其他單位表示，如磅摩爾（lb-mol）或盎司摩爾（oz-mol）。

$N_{A}$	$=2.73159734(12)\times 10^{26}$ Ib-mol^-1
	$=1.707248434(77)\times 10^{25}$ oz-mol^-1

科學上的一般用途

阿伏伽德罗常数是一個比例因數，聯繫自然中宏觀與微觀（原子尺度）的觀測。它本身就為其他常數及性質提供了關係式。例如，它確立了氣體常數R與玻耳茲曼常數 $k_{B}$ 間的關係式，

R=k_{\text{B}}N_{\text{A}}

= 8.31446261815324 J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹

以及法拉第常數F與基本電荷 $e$ 的關係式，

F=N_{\text{A}}e

= 96485.3321233100184 C/mol

同時，阿伏伽德罗常数是原子質量單位（u）定義的一部份，

1\ {\rm {u}}={\frac {M_{\rm {u}}}{N_{\rm {A}}}}=1.660\,539\,040(20)\times 10^{-27}

kg

其中 $M_{u}$ 為摩爾質量常數（即國際單位制下的1g/mol）。

測量

電量分析

最早能準確地測量出阿佛加德羅常數的方法，是基於電量分析（又稱庫侖法）理論。原理是測量法拉第常數 $F$ ，即一摩爾電子所帶的電荷，然後將它除以基本電荷 $e$ ，可得阿佛加德羅常數。

N_{\rm {A}}={\frac {F}{e}}

國家標準技術研究所（NIST）的鮑瓦爾與戴維斯（Bower & Davis）實驗^[18]在這一方法中堪稱經典^[19] ，原實驗中電解槽的陽極是銀製的，通電後銀會“溶解”，實驗中電量計所量度的就是這些單價銀離子所帶的電量，電解液為過氯酸，內含小量過氯酸銀。設電流的大小為 $I$ ，通電時間為 $t$ ，從陽極中離開的銀原子質量為 $m$ 及銀的原子重量為 $A_{r}$ ，則法拉第常數為：

F={\frac {A_{\rm {r}}M_{\rm {u}}It}{m}}

。

原實驗中部份銀原子會因機械性摩擦而脫落，而非通過電解，所以想通過銀電極的消耗量來獲得因電解而消耗的銀原子質量 $m$ ，就必須要解決摩擦造成的質量消耗問題，同時又不能大幅增加實驗誤差，為此NIST的科學家們設計出一種能補償這個質量的方法：他們改在電解質中添加已知質量 $m$ 的銀離子，並使用鉑製的陰極，銀離子會在陰極上形成鍍層，通過觀測鍍層來得知實驗進程。法拉第常數的慣用值為 $F_{90}=96485.3251(12)$ C/mol^[20]，對應的阿佛加德羅常數值為6.022 140 857 (74)×10²³ mol^-1：兩個數值的相對標準不確定度皆小於6994130000000000000♠1.3×10⁻⁶。

電子質量測量

科學技術數據委員會（CODATA）負責發表國際用的物理常數數值。它在計量阿佛加德羅常數時^[21]，用到電子的摩爾質量 $A_{r}(e)Mu$ ，與電子質量 $m_{e}$ 間的比值：

N_{\rm {A}}={\frac {A_{\rm {r}}({\rm {e}})M_{\rm {u}}}{m_{\rm {e}}}}

。

電子的相對原子質量 $A_{r}(e)$ ，是一種可直接測量的量，而摩爾質量常數 $M_{u}$ ，在國際單位制中其大小是有定義的，不用測量。然而，要得出電子的靜止質量，必須通過計算，其中要使用其他需要測量的常數^[21]：

m_{\rm {e}}={\frac {2R_{\infty }h}{c\alpha ^{2}}}

。

由下表2014年國際科學技術數據委員會（CODATA）的值^[22]，可見限制阿佛加德羅常數精確度的主要因素，是普朗克常數，因為計算用的其他常數都相對地準確。

常數	符號	2014年的數值	相對標準的不確定度	與 $N_{A}$ 的相關係數
電子的相對原子質量	$A_{r}(e)$	5.485 799 090 70(16)×10^–4 u	2.9×10^–11	0.0011
摩爾質量常數	$M_{u}$	0.001 kg/mol = 1g/mol	定義	—
里德伯常數	$R_{\infty }$	10 973 731.568 508(65) m⁻¹	5.9×10^–12	-0.0002
普朗克常數	$h$	6.626 070 040(81)×10^–34 J·s	1.2×10^–8	-0.9993
光速	$c$	299 792 458 m/s	定義	—
精細結構常數	$\alpha$	7.297 352 5664(17)×10^–3	2.3×10^–10	0.0193
阿佛加德羅常數	$N_{A}$	6.022 140 857(74)×10²³ mol⁻¹	1.2×10^–8	1

X射線晶體密度法（XRCD）

圖為硅晶胞的球棒模型。X射線繞射可以測量到晶胞參數a，其數值可用於計算阿佛加德羅常數的值

運用X射線晶體學，是一種能得出阿佛加德羅常數的現代方法^[23]。現今的商業設備可以生產出單晶硅，產物有着極高的純度，及極少晶格缺陷。這種方法把阿佛加德羅常數定為一個比值，摩爾體積 $V_{m}$ 與原子體積 $V_{atom}$ 間的比值：

N_{\rm {A}}={\frac {V_{\rm {m}}}{V_{\rm {atom}}}}

，其中

V_{\rm {atom}}={\frac {V_{\rm {cell}}}{n}}

，而

n

則為每一體積為體積

V_{cell}

的晶胞內所含的原子數。

硅的晶胞有着由8個原子組成立方式充填排列，因此晶胞單元的體積，可由測量一個晶胞參數得出，而這個參數 $a$ 就是立方的邊長^[24]。

實際上，所測量的距離叫 $d_{220}$ (Si)，即密勒指數 $\left\{220\right\}$ 所述的各平面間的距離，相等於 ${\frac {a}{\sqrt {8}}}$ 。2010年CODATA的 $d_{220}$ (Si)數值為6990192015571400000♠192.0155714(32) pm，相對不確定度為6992160000000000000♠1.6×10⁻⁸^[25]，對應的晶胞體積為6972160193329000000♠1.60193329(77)×10⁻²⁸ m³。

有必要測量樣本的同位素成份比例，並在計算時考慮在內。硅共有三種穩定的同位素( ${\ce {^28Si}}$ , ${\ce {^29Si}}$ , ${\ce {^30Si}}$ )，它們在自然界的比例差異，比其他測量常數的不確定度還要大。由於三種核素的相對原子質量有着確高的準確度，所以晶體樣本的原子重量 $A_{r}$ 會經由計算得出。經由 $A_{r}$ 與測量出的樣本密度 $\rho$ ，可得求阿佛加德羅常數所需的摩爾體積：

V_{\rm {m}}={\frac {A_{\rm {r}}M_{\rm {u}}}{\rho }}

其中 $M_{u}$ 為摩爾質量常數。根據2014年CODATA的數值，硅的摩爾體積為12.058 832 14(61)，相對標準不確定度為6992510000000000000♠5.1×10⁻⁸^[26]。

根據2010年CODATA的推薦值，透過X射線晶體密度法所得出的阿佛加德羅常數，其相對不確定度為6992810000000000000♠8.1×10⁻⁸，比電子質量法高，約為其一倍半。

国际阿伏伽德罗协作组织

国际阿伏伽德罗协作组织（IAC），又稱“阿佛加德羅計劃”，是各國计量局於1990年代初開始建立的協作組織，目標是透過X射線晶體密度法，將相對不確定度降低至低於6992200000000000000♠2×10⁻⁸的水平^[27]。這個計劃是千克新定義計劃的一部份，千克的新定義將會由通用的物理常數組成，取代現行的國際千克原器。而阿佛加德羅計劃同時會與稱量千克原器的功率天平測量互補，共同提昇普朗克常數的精確度^[28]^[29]。在現行的國際單位制（SI）定義下，測量阿佛加德羅常數，就是間接地測量普朗克常數：

h={\frac {c\alpha ^{2}A_{\rm {r}}({\rm {e}})M_{\rm {u}}}{2R_{\infty }N_{\rm {A}}}}

。

測量對象是一個受過高度打磨的硅製球體，重量為一千克整。使用球體是因為這樣做會簡化其大小的測量（因此密度也是），以及將無可避免的表面氧化層效應最小化。最早期的測量，用的是有着自然同位素成份的硅球，常數的相對不確定度為3.1×10⁻⁷^[30]^[31]^[32]。這些最早期的數值，與從瓦特秤來的普朗克常數測量結果並不一致，儘管科學家們認為他們已經知道差異的成因^[29]。

早期數值的剩餘不確定性，來源為硅同位素構成的測量，這個測量是用於計算原子重量的，因此在2007年種出了一4.8千克的同位素濃縮硅單晶（99.94% ${\ce {^28Si}}$ ）^[33]^[34]，然後從中切割出兩個各一千克的球體。球體的直徑測量在重覆時相差小於0.3nm，重量的不確定度為3μg^[35]。報告論文於2011年1月時發表，概括了國際阿佛加德羅協作組織的研究結果，同時提交了對阿佛加德羅常數的測量數值，為 7023602214078000000♠6.02214078(18)×10²³ mol⁻¹^[36]，與瓦特秤的數值一致，但更準確^[36]。

参看

化学
常数
物质的量
阿伏伽德罗定律
“摩尔日”，美国化学家的节日，从10月23日早6:02到晚6:02，以纪念N_A

参考資料

^ International Union of Pure and Applied Chemistry (1993). 2nd edition, Oxford: Blackwell Science. ISBN 0-632-03583-8. pp. 4. Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry (PDF). [2010-10-25]. （原始内容 (PDF)存档于2010-02-15）. Electronic version.
^ ^2.0 ^2.1 Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006 (PDF). Rev. Mod. Phys. 2008, 80: 633–730 [2011-08-11]. Bibcode:2008RvMP...80..633M. doi:10.1103/RevModPhys.80.633. （原始内容存档 (PDF)于2011-08-05）.
^ Avogadro constant. [2011-08-11]. （原始内容存档于2019-09-28）.
^ 26th meeting of the CGPM. Draft Resolution A "On the revision of the International System of units (SI)" to be submitted to the CGPM at its 26th meeting (2018) (PDF). CGPM. 2018-11 [2018-11-19]. （原始内容 (PDF)存档于2018-04-29）.
^ International Union of Pure and Applied Chemistry Commission on Atomic Weights and Isotopic Abundances, P.; Peiser, H. S., Atomic Weight: The Name, Its History, Definition and Units (PDF), Pure and Applied Chemistry, 1992, 64 (10): 1535–43 [2006-12-28], doi:10.1351/pac199264101535, （原始内容存档 (PDF)于2011-06-29）.
^ International Union of Pure and Applied Chemistry Commission on Quantities and Units in Clinical Chemistry, H. P.; International Federation of Clinical Chemistry Committee on Quantities and Units, Glossary of Terms in Quantities and Units in Clinical Chemistry (IUPAC-IFCC Recommendations 1996) (PDF), Pure and Applied Chemistry, 1996, 68 (4): 957–1000 [2006-12-28], doi:10.1351/pac199668040957, （原始内容存档 (PDF)于2006-10-21）.
^ International Bureau of Weights and Measures, The International System of Units (SI) (PDF) 8th: 114–15, 2006, ISBN 92-822-2213-6 （英语）
^ Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006 (PDF). Rev. Mod. Phys. 2008, 80: 633–730 [2011-08-11]. Bibcode:2008RvMP...80..633M. doi:10.1103/RevModPhys.80.633. （原始内容存档 (PDF)于2011-08-05）.
^ Avogadro, Amadeo, Essai d'une maniere de determiner les masses relatives des molecules elementaires des corps, et les proportions selon lesquelles elles entrent dans ces combinaisons, Journal de Physique, 1811, 73: 58–76. English translation （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
^ ^10.0 ^10.1 Perrin, Jean, Mouvement brownien et réalité moléculaire, Annales de Chimie et de Physique, 8^e Série, 1909, 18: 1–114. Extract in English, translation by Frederick Soddy （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
^ Oseen, C.W. (December 10, 1926). Presentation Speech for the 1926 Nobel Prize in Physics （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
^ Loschmidt, J., Zur Grösse der Luftmoleküle, Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 1865, 52 (2): 395–413. English translation 互联网档案馆的存檔，存档日期2006-02-07..
^ Virgo, S.E., Loschmidt's Number, Science Progress, 1933, 27: 634–49, （原始内容存档于2005-04-04）.
^ NIST Introduction to physical constants. [2011-08-11]. （原始内容存档于2017-07-04）.
^ See, e.g., Kotz, John C.; Treichel, Paul M.; Townsend, John R., Chemistry and Chemical Reactivity 7th, Brooks/Cole, 2008 [2011-08-11], ISBN 0495387037, （原始内容存档于2008-10-16）
^ Resolution 3, 14th General Conference of Weights and Measures (CGPM), 1971.
^ de Bièvre, P.; Peiser, H.S., 'Atomic Weight'—The Name, Its History, Definition, and Units (PDF), Pure Appl. Chem., 1992, 64 (10): 1535–43 [2011-08-11], doi:10.1351/pac199264101535, （原始内容存档 (PDF)于2011-06-29）.
^ V.E. Bower; R.S. Davis. The electrochemical equivalent of pure silver - a value for Faraday. J. Res. Natl. Bur. Stand. 1980, 85: 175–191.
^ This account is based on the review in Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998. J. Phys. Chem. Ref. Data. 1999, 28 (6): 1713–1852. doi:10.1103/RevModPhys.72.351.
^ Search Results. physics.nist.gov. [2016-12-11]. （原始内容存档于2016-12-20）.
^ ^21.0 ^21.1 Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002. Rev. Mod. Phys. 2005, 77 (1): 1–107. Bibcode:2005RvMP...77....1M. doi:10.1103/RevModPhys.77.1.
^ P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899.
^ Ian Robinson 作，郭凯声译：1千克究竟有多重，载《环球科学》2007年1月号，70-78页，ISSN 1673-5153
^ Mineralogy Database. Unit Cell Formula. 2000–2005 [2007-12-09]. （原始内容存档于2007-07-08）.
^ P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899. Direct link to value （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899. Direct link to value （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Avogadro Project, National Physical Laboratory, [2010-08-19], 原始内容存档于2011-02-02
^ Leonard, B. P., On the role of the Avogadro constant in redefining SI units for mass and amount of substance, Metrologia, 2007, 44 (1): 82–86, doi:10.1088/0026-1394/44/1/012 .
^ ^29.0 ^29.1 Jabbour, Zeina J., Getting Closer to Redefining The Kilogram, Weighing & Measurement Magazine, 2009, (October): 24–26 [2011-08-12], （原始内容存档于2013-04-08） .
^ Becker, Peter, Tracing the definition of the kilogram to the Avogadro constant using a silicon single crystal, Metrologia, 2003, 40 (6): 366–75, doi:10.1088/0026-1394/40/6/008 .
^ Fujii, K.; Waseda, A.; Kuramoto, N.; Mizushima, S.; Becker, P.; Bettin, H.; Nicolaus, A.; Kuetgens, U.; Valkiers, S., Present State of the Avogadro Constant Determination From Silicon Crystals With Natural Isotopic Compositions, IEEE Trans. Instrum. Meas., 2005, 54 (2): 854–59, doi:10.1109/TIM.2004.843101 .
^ Williams, E. R., Toward the SI System Based on Fundamental Constants: Weighing the Electron, IEEE Trans. Instrum. Meas., 2007, 56 (2): 646–50, doi:10.1109/TIM.2007.890591 .
^ Becker, P.; Schiel, D.; Pohl, H.-J.; Kaliteevski, A. K.; Godisov, O. N.; Churbanov, M. F.; Devyatykh, G. G.; Gusev, A. V.; Bulanov, A. D., Large-scale production of highly enriched 28Si for the precise determination of the Avogadro constant, Meas. Sci. Technol., 2006, 17 (7): 1854–60, doi:10.1088/0957-0233/17/7/025 .
^ Devyatykh, G. G.; Bulanov, A. D.; Gusev, A. V.; Kovalev, I. D.; Krylov, V. A.; Potapov, A. M.; Sennikov, P. G.; Adamchik, S. A.; Gavva, V. A., High-Purity Single-Crystal Monoisotopic Silicon-28 for Precise Determination of Avogadro's Number, Dokl. Chem., 2008, 421 (1): 157–60, doi:10.1134/S001250080807001X .
^ Report of the 11th meeting of the Consultative Committee for Mass and Related Quantities (CCM) (PDF), International Bureau of Weights and Measures: 17, 2008, （原始内容 (PDF)存档于2012-03-16） .
^ ^36.0 ^36.1 Andreas, B.; Azuma, Y.; Bartl, G.; Becker, P.; Bettin, H.; Borys, M.; Busch, I.; Gray, M.; Fuchs, P.; Fujii, K.; Fujimoto, H.; Kessler, E.; Krumrey, M.; Kuetgens, U.; Kuramoto, N.; Mana, G.; Manson, P.; Massa, E.; Mizushima, S.; Nicolaus, A.; Picard, A.; Pramann, A.; Rienitz, O.; Schiel, D.; Valkiers, S.; Waseda, A., An accurate determination of the Avogadro constant by counting the atoms in a ²⁸Si crystal, Phys. Rev. Lett., 2011, 106 (3): 030801 (4 pages), Bibcode:2011PhRvL.106c0801A, doi:10.1103/PhysRevLett.106.030801 .

外部連結

阿佛加德羅常數的1996年定義（页面存档备份，存于互联网档案馆）出自國際純粹與應用化學聯合會的《化學術語概略》（“金色書”）（英文）
阿佛加德羅數（6.022×10²³）筆記（歷史筆記）（英文）
給阿佛加德羅數一個準確值（页面存档备份，存于互联网档案馆） -- 科學美國人（英文）
用阿佛加德羅和摩爾普朗克常數來為千克重新定義（英文）

[1] International Union of Pure and Applied Chemistry (1993). 2nd edition, Oxford: Blackwell Science. ISBN 0-632-03583-8. pp. 4. Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry (PDF). [2010-10-25]. （原始内容 (PDF)存档于2010-02-15）. Electronic version.

[CODATA-2] 2.0 ^2.1 Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006 (PDF). Rev. Mod. Phys. 2008, 80: 633–730 [2011-08-11]. Bibcode:2008RvMP...80..633M. doi:10.1103/RevModPhys.80.633. （原始内容存档 (PDF)于2011-08-05）.

[3] Avogadro constant. [2011-08-11]. （原始内容存档于2019-09-28）.

[4] 26th meeting of the CGPM. Draft Resolution A "On the revision of the International System of units (SI)" to be submitted to the CGPM at its 26th meeting (2018) (PDF). CGPM. 2018-11 [2018-11-19]. （原始内容 (PDF)存档于2018-04-29）.

[5] International Union of Pure and Applied Chemistry Commission on Atomic Weights and Isotopic Abundances, P.; Peiser, H. S., Atomic Weight: The Name, Its History, Definition and Units (PDF), Pure and Applied Chemistry, 1992, 64 (10): 1535–43 [2006-12-28], doi:10.1351/pac199264101535, （原始内容存档 (PDF)于2011-06-29）.

[6] International Union of Pure and Applied Chemistry Commission on Quantities and Units in Clinical Chemistry, H. P.; International Federation of Clinical Chemistry Committee on Quantities and Units, Glossary of Terms in Quantities and Units in Clinical Chemistry (IUPAC-IFCC Recommendations 1996) (PDF), Pure and Applied Chemistry, 1996, 68 (4): 957–1000 [2006-12-28], doi:10.1351/pac199668040957, （原始内容存档 (PDF)于2006-10-21）.

[SI-7] International Bureau of Weights and Measures, The International System of Units (SI) (PDF) 8th: 114–15, 2006, ISBN 92-822-2213-6 （英语）

[CODATA2006-8] Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006 (PDF). Rev. Mod. Phys. 2008, 80: 633–730 [2011-08-11]. Bibcode:2008RvMP...80..633M. doi:10.1103/RevModPhys.80.633. （原始内容存档 (PDF)于2011-08-05）.

[9] Avogadro, Amadeo, Essai d'une maniere de determiner les masses relatives des molecules elementaires des corps, et les proportions selon lesquelles elles entrent dans ces combinaisons, Journal de Physique, 1811, 73: 58–76. English translation （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

[Perrin-10] 10.0 ^10.1 Perrin, Jean, Mouvement brownien et réalité moléculaire, Annales de Chimie et de Physique, 8^e Série, 1909, 18: 1–114. Extract in English, translation by Frederick Soddy （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

[11] Oseen, C.W. (December 10, 1926). Presentation Speech for the 1926 Nobel Prize in Physics （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

[12] Loschmidt, J., Zur Grösse der Luftmoleküle, Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 1865, 52 (2): 395–413. English translation 互联网档案馆的存檔，存档日期2006-02-07..

[13] Virgo, S.E., Loschmidt's Number, Science Progress, 1933, 27: 634–49, （原始内容存档于2005-04-04）.

[14] NIST Introduction to physical constants. [2011-08-11]. （原始内容存档于2017-07-04）.

[Kotz-15] See, e.g., Kotz, John C.; Treichel, Paul M.; Townsend, John R., Chemistry and Chemical Reactivity 7th, Brooks/Cole, 2008 [2011-08-11], ISBN 0495387037, （原始内容存档于2008-10-16）

[16] Resolution 3, 14th General Conference of Weights and Measures (CGPM), 1971.

[IUPAChist-17] Bièvre, P.; Peiser, H.S., 'Atomic Weight'—The Name, Its History, Definition, and Units (PDF), Pure Appl. Chem., 1992, 64 (10): 1535–43 [2011-08-11], doi:10.1351/pac199264101535, （原始内容存档 (PDF)于2011-06-29）.

[18] V.E. Bower; R.S. Davis. The electrochemical equivalent of pure silver - a value for Faraday. J. Res. Natl. Bur. Stand. 1980, 85: 175–191.

[19] This account is based on the review in Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998. J. Phys. Chem. Ref. Data. 1999, 28 (6): 1713–1852. doi:10.1103/RevModPhys.72.351.

[20] Search Results. physics.nist.gov. [2016-12-11]. （原始内容存档于2016-12-20）.

[CODATA2002-21] 21.0 ^21.1 Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002. Rev. Mod. Phys. 2005, 77 (1): 1–107. Bibcode:2005RvMP...77....1M. doi:10.1103/RevModPhys.77.1.

[22] P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899.

[Robinson-23] Ian Robinson 作，郭凯声译：1千克究竟有多重，载《环球科学》2007年1月号，70-78页，ISSN 1673-5153

[24] Mineralogy Database. Unit Cell Formula. 2000–2005 [2007-12-09]. （原始内容存档于2007-07-08）.

[25] P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899. Direct link to value （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[26] P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899. Direct link to value （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[27] Avogadro Project, National Physical Laboratory, [2010-08-19], 原始内容存档于2011-02-02

[Leonard-28] Leonard, B. P., On the role of the Avogadro constant in redefining SI units for mass and amount of substance, Metrologia, 2007, 44 (1): 82–86, doi:10.1088/0026-1394/44/1/012 .

[Jabbour-29] 29.0 ^29.1 Jabbour, Zeina J., Getting Closer to Redefining The Kilogram, Weighing & Measurement Magazine, 2009, (October): 24–26 [2011-08-12], （原始内容存档于2013-04-08） .

[30] Becker, Peter, Tracing the definition of the kilogram to the Avogadro constant using a silicon single crystal, Metrologia, 2003, 40 (6): 366–75, doi:10.1088/0026-1394/40/6/008 .

[31] Fujii, K.; Waseda, A.; Kuramoto, N.; Mizushima, S.; Becker, P.; Bettin, H.; Nicolaus, A.; Kuetgens, U.; Valkiers, S., Present State of the Avogadro Constant Determination From Silicon Crystals With Natural Isotopic Compositions, IEEE Trans. Instrum. Meas., 2005, 54 (2): 854–59, doi:10.1109/TIM.2004.843101 .

[32] Williams, E. R., Toward the SI System Based on Fundamental Constants: Weighing the Electron, IEEE Trans. Instrum. Meas., 2007, 56 (2): 646–50, doi:10.1109/TIM.2007.890591 .

[33] Becker, P.; Schiel, D.; Pohl, H.-J.; Kaliteevski, A. K.; Godisov, O. N.; Churbanov, M. F.; Devyatykh, G. G.; Gusev, A. V.; Bulanov, A. D., Large-scale production of highly enriched 28Si for the precise determination of the Avogadro constant, Meas. Sci. Technol., 2006, 17 (7): 1854–60, doi:10.1088/0957-0233/17/7/025 .

[34] Devyatykh, G. G.; Bulanov, A. D.; Gusev, A. V.; Kovalev, I. D.; Krylov, V. A.; Potapov, A. M.; Sennikov, P. G.; Adamchik, S. A.; Gavva, V. A., High-Purity Single-Crystal Monoisotopic Silicon-28 for Precise Determination of Avogadro's Number, Dokl. Chem., 2008, 421 (1): 157–60, doi:10.1134/S001250080807001X .

[35] Report of the 11th meeting of the Consultative Committee for Mass and Related Quantities (CCM) (PDF), International Bureau of Weights and Measures: 17, 2008, （原始内容 (PDF)存档于2012-03-16） .

[Avogadro2011-36] 36.0 ^36.1 Andreas, B.; Azuma, Y.; Bartl, G.; Becker, P.; Bettin, H.; Borys, M.; Busch, I.; Gray, M.; Fuchs, P.; Fujii, K.; Fujimoto, H.; Kessler, E.; Krumrey, M.; Kuetgens, U.; Kuramoto, N.; Mana, G.; Manson, P.; Massa, E.; Mizushima, S.; Nicolaus, A.; Picard, A.; Pramann, A.; Rienitz, O.; Schiel, D.; Valkiers, S.; Waseda, A., An accurate determination of the Avogadro constant by counting the atoms in a ²⁸Si crystal, Phys. Rev. Lett., 2011, 106 (3): 030801 (4 pages), Bibcode:2011PhRvL.106c0801A, doi:10.1103/PhysRevLett.106.030801 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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[9]

[10]

[11]

[12]

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[19]

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