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欧拉运动定律

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莱昂哈德·欧拉

欧拉运动定律Euler's laws of motion)是牛顿运动定律的延伸,可以应用于多粒子系统运动或刚体运动,描述多粒子系统运动或刚体的平移运动旋转运动分别与其感受的力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪,于1750年,莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。[1][2]

刚体也是一种多粒子系统,但理想刚体是一种有限尺寸,可以忽略形变的固体。不论是否感受到作用力,在刚体内部,点与点之间的距离都不会改变。

欧拉运动定律也可以加以延伸,应用于可变形体内任意部分的平移运动与旋转运动。

刚体

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欧拉第一运动定律

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欧拉第一定律表明,从某惯性参考系观测,施加于刚体的合外力,等于刚体质量质心加速度的乘积。[3]欧拉第一定律以方程表达为

其中, 是刚体感受到的合外力, 分别是刚体的质量、质心加速度。

刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子,感受到同样的合外力,而呈现的运动。

导引

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思考由 个粒子组成的多粒子系统,其质心位置

 ;

其中, 分别为第 个粒子的质量、位置 是系统的质量。

质心速度

其中, 是第 个粒子的速度

质心加速度

其中, 是第 个粒子的加速度

个粒子感受到的力

其中, 是这粒子感受到的外力, 是第 个粒子施加于第 个粒子的内力。

系统感受到的合力 是所有粒子感受到的力的矢量和:

根据牛顿第三定律,内力与其反作用力的关系为

所以,所有粒子彼此施加于对方的内力的矢量和为零,合力等于所有外力的矢量和 (合外力 ):

根据牛顿第二定律,第 个粒子感受到的力 与这粒子的加速度之间的关系为

总和所有粒子所感受到的力,

所以,合外力 与质心加速度的关系为

动量守恒定律

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多粒子系统的动量 是组成这系统的所有粒子的动量的矢量和:

其中, 是第 个粒子的动量。

欧拉第一定律又可以表达为

假设合外力为零,则系统的动量守恒。

欧拉第二运动定律

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欧拉第二定律表明,设定某惯性参考系的固定点O(例如,原点)为参考点,施加于刚体的净外力矩,等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程表达为

其中, 是对于点O合外力矩, 是对于点O的角动量。

导引

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思考由 个粒子组成的多粒子系统。对于点O,第 个粒子的角动量

对于时间的导数为

根据牛顿第二定律,施加于第 个粒子的力 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以, 对于时间的导数为

个粒子所感受到的合力矩 。所以, 的关系为

总和所有粒子所感受到的合力矩,系统所感受到的合力矩 与其角动量 的关系为

个粒子所感受到的合力

个粒子所感受到的合力矩

物体感受到的合力矩 为:

应用牛顿第三定律

其中, 是从粒子 到粒子 的位移矢量。

假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律,即粒子运动为经典运动,速度超小于光速,则 同向,叉积为零。那么,物体感受到的合力矩是所有外力矩的矢量和

这样,可以得到欧拉第二定律方程

假设施加于系统的合外力矩为零,则系统的角动量的时间变化率为零,系统的角动量守恒。

相对于质心的欧拉第二运动定律

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所有粒子所感受到的合力矩的矢量和为

其中, 分别是第 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。

注意到所有粒子的相对位移与相对加速度,其矢量和分别为零,所以,

现在,假设将质心设定为参考点,则 ,方程变为

以质心为参考点,角动量

所以,不论质心参考系是否为惯性参考系(即不论质心是否呈加速度运动),以质心为参考点,合外力矩等于角动量的时间变化率:

可变形体

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在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样,也就是说,其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常,牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动,但在连续介质力学里,被加以延伸后,可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成,每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律,则可以推导出欧拉运动定律。不论如何,欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理,与物体结构无关。[4]

塑性力学(plasticity theory)里,施加于一个连续物体B的力可以分类为两种:“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分,称为彻体力body force),而短程力只能作用于物体表面,称为接触力contact force)。这样,施加于连续物体的合力 分为净彻体力 、净接触力

其中, 是彻体力场(量纲为力每单位质量), 是微小质量元素, 是质量密度, 是微小体元素, 是积分体区域,表面曳力surface traction)密度, 是微小面元素, 是积分曲面。

由于彻体力与接触力施加于物体,造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样,对于原点的合力矩 分为净彻体力矩 、净接触力矩

其中, 是微小体元素或微小面元素的位置。

欧拉第一定律(“力平衡定律”)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的合外力等于净动量的时间变化率:

也就是说,

其中, 是微小体元素的速度。

欧拉第二定律(“角动量平衡定律”)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的合力矩等于净角动量的时间变化率:

也就是说,

参阅

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参考文献

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  1. ^ Beatty, Millard F. Principles of engineering mechanics Volume 2 of Principles of Engineering Mechanics: Dynamics-The Analysis of Motion,. Springer. 2006: pp. 405. ISBN 0387237046. 
  2. ^ Bradley, Robert E., Sandifer, Charles. Leonhard Euler: life, work and legacy Volume 5 of Studies in the history and philosophy of mathematics. Elsevier. 2007: pp. 196. ISBN 9780444527288. 
  3. ^ Rao, Anil Vithala. Dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press. 2006: 355. ISBN 978-0-521-85811-3. 
  4. ^ Lubliner, Jacob. Plasticity Theory (Revised Edition) (PDF). Dover Publications. 2008: pp. 27–28. ISBN 0486462900. (原始内容 (PDF)存档于2010-03-31).