皮克定理

$b=14,i=39,A=45$

给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积 $A$ 和内部格点数目 $i$ 、边上格点数目 $b$ 的关系：$A=i+{\frac {b}{2}}-1$。

证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 $P$ ，及跟 $P$ 有一条共同边的三角形 $T$ 。若 $P$ 符合皮克公式，则只要证明 $P$ 加上 $T$ 的 $PT$ 亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

设 $P$ 和 $T$ 的共同边上有 $c$ 个格点。

• $P$ 的面积： $i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1$
• $T$ 的面积： $i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1$
• $PT$ 的面积：

$(i_{T}+i_{P}+c-2)+{\frac {b_{T}-c+b_{P}-c+2}{2}}-1$

$=i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1$

三角形

证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

1. 所有平行于轴线的矩形；
2. 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
3. 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。

矩形

设矩形 $R$ 长边短边各有$m$,$n$个格点：

• $A_{R}=(m-1)(n-1)$
• $i_{R}=(m-2)(n-2)$
• $b_{R}=2(m+n)-4$

$i_{R}+{\frac {b_{R}}{2}}-1$

$=(m-2)(n-2)+(m+n)-2-1$

$=mn-(m+n)+1$

$=(m-1)(n-1)$

直角三角形

易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且 $i$ , $b$ 相等。设其斜边上有 $c$ 个格点。

• $b=m+n+c-3$
• $i={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}$

$i+{\frac {b}{2}}-1$

$={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}+{\frac {m+n+c-3}{2}}-1$

$={\frac {(m-2)(n-2)}{2}}+{\frac {m+n-3}{2}}$

$={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}$

一般三角形

逆运用前面对2个多边形的证明：

既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 $P$ 加上 $T$ 的 $PT$ 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。

于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

推广

• 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点，皮克定理则是$A=2*i+b-2$。
• 对于非简单的多边形$P$，皮克定理$A=i+{\frac {b}{2}}-\chi (P)$，其中 $\chi (P)$ 表示 $P$ 的欧拉示性数。
• 高维推广：Ehrhart多项式；一维：植树问题。
• 皮克定理和欧拉公式（$V-E+F=2$）等价。

定理提出者

Georg Alexander Pick，1859年生于维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。

相关书籍

• 《格点和面积》 闵嗣鹤著

外部链接

• 以皮克定理证明欧拉公式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英）
• 谈求面积的 Pick 公式，蔡聪明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml （页面存档备份，存于互联网档案馆）