伴随矩阵

此条目介绍的是古典伴随矩阵。关于现今一般所指的伴随算子，请见“埃尔米特伴随”。

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英语：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

$\mathbf {A}$的伴随矩阵记作$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$，或$\mathbf {A} ^{*}$。

定义

参见：子式和余子式、余因子矩阵和转置矩阵

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

• 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作M_ij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
• 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：

$\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$。

• 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}$，

也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。 简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写：

$\left[\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\right]_{ij}=\mathbf {C} _{ji}$。

例子

2x2矩阵

一个$2\times 2$矩阵$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}$的伴随矩阵是

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix}}$

3x3矩阵

对于$3\times 3$的矩阵，情况稍微复杂一点：

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

其伴随矩阵是：

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}^{T}$

其中

$\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|$

要注意伴随矩阵是馀因子矩阵的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况

对于数值矩阵， 例如求矩阵 $A={\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}$ 的伴随矩阵$\operatorname {adj} (A)$，

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：$\operatorname {adj} (A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})$。

其中，$M_{ij}$为删掉矩阵 $A$ 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式，$C_{ji}$为矩阵 $A$ 的馀因子。

例如：$\operatorname {adj} (A)$中第3行第2列的元素为

$\operatorname {adj} (A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6$

依照其顺序一一计算，便可得到计算后的结果是：

$\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}$

应用

作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：

$\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)$

其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是

$\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}C_{i,j}$。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。

如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是

$\sum _{k=1}^{n}a_{i;k}C_{j,k}$。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。

由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆，那么

$1=\det(\mathbf {I} )=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1})$，

如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明

$\mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$

性质

对$n\times n$的矩阵A和B，有：

1. $\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$，
2. $\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$，
3. $\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{T}$，
4. $\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}$，
5. $\mathrm {adj} (k\mathbf {A} )=k^{n-1}\ \mathrm {adj} (\mathbf {A} )$
6. 当n>=2时，$\mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A}$
7. 如果A可逆，那么$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{-1})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{-1}={\frac {A}{\det A}}$
8. 如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
9. 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
10. 如果矩阵A和B相似，那么$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$和$\mathrm {adj} (\mathbf {B} )$也相似。
11. 如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\pm A^{T}$

伴随矩阵的秩

当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值

设矩阵A在复域中的特征值为$\lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为

$\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}$。

证明

这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。

分3种情况讨论：

• 如果A的秩为n，即是说A可逆，那么由引理有：$\det A=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$。只需证明A的伴随矩阵的特征值为${\frac {\det A}{\lambda _{1}}},{\frac {\det A}{\lambda _{2}}},\cdots ,{\frac {\det A}{\lambda _{n}}}$。考察矩阵$X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$：

$\det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))$

$\ \ =\det(X\mathbf {I} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1})$

$\ \ =\det \mathbf {A} ^{-1}\cdot \det(X\mathbf {A} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {I} )$ $\ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )$

由于$\det(\mathbf {A} -X\mathbf {I} )=\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-X)$，因此

$\det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )$

$\ \ =\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-{\frac {\det \mathbf {A} }{X}})$

$\ \ ={\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )$

因此

$\det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))$

$\ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot {\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )$

$\ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})$

$\ \ =\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})$

可以看到$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$的特征多项式为$\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})$，因此命题成立。

• 如果A的秩严格小于n-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是

$\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}$

全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。

• 如果A的秩等于n-1，即是说A至少有一个特征值为0，不妨设其为$\lambda _{1}$。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它至少有n-1个特征值为0。设剩余的一个为$\alpha$，则其迹数为$\alpha$。另一方面，A的伴随矩阵的迹数为

$C_{11}+C_{22}+\cdots +C_{nn}$

这个和恰好等于$\sum _{i=1}^{n}\prod _{k\neq i}\lambda _{k}$，即等于$\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n}$（其余都是0）。

综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。

伴随矩阵和特征多项式

设 $p(t)=\mathrm {det} (\mathbf {A} -t\mathbf {I} )$ 为$\mathbf {A}$的特征多项式，定义$q(t)={\frac {p(0)-p(t)}{t}}$，那么：

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})$,

其中$p_{i}$是$p(t)$的各项系数：

$p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}$。

伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。

参见

• 逆矩阵
• 可逆元
• 余子矩阵
• 行列式

参考来源

• Strang, Gilbert. Section 4.4: Applications of determinants. Linear Algebra and its Applications 3. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3 （英语）. 
• 居余马. 线性代数 2. 清华大学出版社. 2002 （中文（中国大陆））. 

外部链接

• 矩阵论参考手册 (英文)（页面存档备份，存于互联网档案馆）