凸共轭

在数学中，凸共轭（英语：convex conjugate）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒让德-芬克尔变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威尔纳·芬克尔命名。

定义

函数 $f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$ 在扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为： $f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}$

这里， $X$ 表示实赋范向量空间， $X^{*}$ 表示 $X$ 的对偶空间。

映射 $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$ 表示一个二次型，满足：对于 $X^{*}$ （ $X$ ）中任意非零元素 $x^{*}$ ，总能在 $X$ （对应地， $X^{*}$ ）中找到一个元素 $x$ 使得 $\left\langle x^{*},x\right\rangle =0$ 。

例子

仿射变换 $f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R}$ ；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}$

幂函数 $f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty$ ；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty$ 这里 ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$

绝对值变换 $f(x)=\left|x\right|$ ；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}$

指数函数

$f(x)=\,\!e^{x}$ ；它的凸共轭是： $f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}$

性质

逆序性

如果 $f\leq g$ ，那么就有 $g^{*}\geq f^{*}$ 。这里的 $f\leq g$ 指，对定义域中所有元素 $x$ ，都有 $f(x)\leq g(x)$ 成立。

半连续性与两次凸共轭

函数 $f$ 的凸共轭总具有半连续性，因此函数 $f$ 的两次共轭 $f^{**}$ 也具有半连续性。同时， $f^{**}$ 还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足 $f^{**}\leq f$ 。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合适的函数 $f$ ， $f^{**}=f$ 当且仅当 $f$ 是半连续的凸函数。

Fenchel不等式

$\left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p)$ ，这里 $x\in X,p\in X^{*}$ ， $f^{*}$ 是 $f$ 的凸共轭。

凸性

凸共轭算子自身是凸的，即：

取函数 $f_{1},f_{2}$ ， $(0,1)$ 间任意实数 $\lambda$ ，有： $\left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{\star }\leq (1-\lambda )f_{0}^{\star }+\lambda f_{1}^{\star }$ 成立。