可忽略函数

在数学中，可忽略函数（英语：Negligible function）是指

对于一个函数 $\mu (x):\mathbb {N} {\rightarrow }\mathbb {R}$ ，如果对于任意一个正多项式$poly()$，存在一个$N_{c}>0$，使得对于所有的$x>N_{c}$

$\mu (x)<{\frac {1}{poly(x)}}$

那么这个函数便是可忽略的（negligible）。通常我们把“存在一个$N_{c}>0$，使得对于所有的$x>N_{c}$”简化为“对于所有足够大的$x$”。

历史

可忽略函数这个概念是和数学分析的形式化模型相关的。第一个比较严格的定义是波尔查诺在1817年给出的。后来的柯西, 魏尔施特拉斯和海涅都用了基本相同的以下定义：

（连续函数） 一个实数函数$f(x)$在$x=x_{0}$处连续，当对于任意一个正实数$\epsilon >0$，有一个正实数$\delta >0$，使$|x-x_{0}|<\delta$时，有$|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$。

只要每步改变一项参数，此定义就可经数步转换成为可忽略函数的定义。首先，当$x_{0}=\infty ,f(x_{0})=0$时，我们需要定义"足够大"（sufficiently large），并定义无穷小量：

（足够大） 实数$x$足够大时一个数学命题为真，当且仅当存在一个实数$N_{c}>0$，对所有的实数$x>N_{c}$此数学命题为真。

（无穷小） 一个连续函数$\mu (x)$无穷小，当对任意足够大的正实数$x$，对任意正实数 $pnum={\frac {1}{\epsilon }}>0$，有

$|\mu (x)|<\epsilon ={\frac {1}{pnum}}$。

然后我们把正实数$\epsilon$换成正实数多项式函数$\epsilon (x)$。

（可忽略函数） 一个连续函数$\mu (x)$可忽略，当对任意足够大的正实数$x$，对任意正多项式$poly(x)={\frac {1}{\epsilon (x)}}>0$，有

$|\mu (x)|<\epsilon (x)={\frac {1}{poly(x)}}$。

在基于计算复杂性理论的现代密码学中，一个安全技术是数学上可证明安全（provably secure）的意思通常是，此安全技术的失败的概率是关于密钥长度$x=n$的一个可忽略函数（参见公钥密码学）。因为密钥长度$n$肯定是自然数，这就是为什么开篇的定义把定义域改为自然数域的原因。

参考

• Goldreich, Oded. Foundations of Cryptography: Volume 1, Basic Tools. Cambridge University Press. 2001 [2007-03-02]. ISBN 0-521-79172-3. （原始内容存档于2020-08-11）. 
• Sipser, Michael. Section 10.6.3: One-way functions. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997: 374–376. ISBN 0-534-94728-X. 
• Papadimitriou, Christos. Section 12.1: One-way functions. Computational Complexity 1st. Addison Wesley. 1993: 279–298. ISBN 0-201-53082-1. 
• Colombeau, Jean François. New Generalized Functions and Multiplication of Distributions. Mathematics Studies 84, North Holland. 1984. ISBN 0-444-86830-5. 
• Bellare, Mihir. A Note on Negligible Functions. Dept. of Computer Science & Engineering University of California at San Diego. 1997. CiteSeerX 10.1.1.43.7900 .