和与积的问题

和与积的问题（英语：Sum and Product Puzzle）是一道逻辑谜题，亦称为不可能的谜题（英语：The Impossible Puzzle），因为它的题面似乎缺乏足够的解题信息。该谜题由汉斯·弗赖登塔尔得（英语：Hans Freudenthal）在1969年首次发表^[1] ，而“不可能的谜题”这个名字是由马丁·加德纳所提出的^[2]。这个谜题是可以解开的，尽管略显困难。还有很多与之类似的谜题。

谜题

注：这谜题有很多个版本。这里用最原始的版本。
X和Y是二个整数，大于1，和不大于100，而X严格小于Y (1 < X < Y, X+Y ≦100)。

S和P是两个数学家，逻辑都非常好。S知道两者的和 X+Y。P知道两者的积 XY。两个人都知道上述的资讯后的对话如下：

S说：“P不知道X和Y的值。”
P说：“我知道X和Y的值了。”
S说：“现在我也知道X和Y的值了。”

X和Y分别是多少？

解答

答案是 X 和 Y 分别是4和13，P一开始知道的乘积是52，S一开始知道的和是17。

一开始P不知道答案，因为有两个可能性

52 = 4 × 13 = 2 × 26

而S也知道P不知道答案，因为所有加起来为17，符合规则的数字，相乘后的乘积都无法由乘积直接反推X和Y。但S和P都可以根据对方的说明删除一些不符合说明的解，因此得到答案。

详解

数学家P和数学家S如何得到答案

数学家P

令p为两数之积，s为两数之和。

P知道p=52，P猜测(2,26)和(4,13)可能是答案，因此P知道s=28或s=17。

若s=28:

可能答案会是(2,26)、(3,25)、(4,24)、(5,23)、(6,22)、(7,21)、(8,20)、(9,19)、(10,18)、(11,17)、(12,16)及(13,15)。

但若答案是(5,23)，5*23的乘积（115）无法再表示为其他两个大于一数字的乘积，因此若答案是(5,23)，P就知道答案了。

而若答案是(11,17)，11*17的乘积（187）无法再表示为其他两个大于一数字的乘积，因此若答案是(11,17)，P就知道答案。

P有可能知道X和Y的值，因此S不能断定说“P不知道X和Y的值。”

若s=17:

可能答案会是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)。

每组数字中都至少有一个是合数，因此乘积可以表示为其他两个大于一数字的乘积，S可以确定P不会知道正确的数字。

因此S可以说“P不知道X和Y的值。”

因此当S说“P不知道X和Y的值。”时，P可以删除(2,26)，剩下的(4,13)就是答案。

数学家S

S知道s=17，可能的答案有(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)。S知道p可能是30、42、52、60、66、70或72。

当P说：“我知道X和Y的值了。”时，S可以知道P依照对话可排除大部份的可能解，只留下一个可能解。

S模拟P的想法

情形1（p=30）

P知道p=30，可能的答案有(2,15)、(3,10)及(5,6)。P知道s可能是17、13或11。

若s=17:

S会猜可能答案是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=13:

S会猜可能答案是(2,11)、(3,10)、(4,9)、(5,8)及(6,7)，其中(2,11)都是质数。

若答案是(2,11)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=11:

S会猜可能答案是(2,9)、(3,8)、(4,7)及(5,6)。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

因此若S说 “P不知道X和Y的值。”时，P可以排除(3,10)，可能答案有(2,15)及(5,6)，并不唯一。

情形2（p=42）

P知道p=42，可能的答案有(2,21)、(3,14)及(6,7)。P知道s可能是23、17或13。

若s=23:

S会猜可能答案是(2,21)、(3,20)、(4,19)、(5,18)、(6,17)、(7,16)、(8,15)、(9,14)、(10,13)及(11,12).

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=17:

S会猜可能答案是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=13:

S会猜可能答案是(2,11)、(3,10)、(4,9)、(5,8)及(6,7)，其中(2,11)都是质数。

若答案是(2,11)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

因此若S说 “P不知道X和Y的值。”时，P可以排除(6,7)，可能答案有(2,21)及(3,14)，并不唯一。

情形3（p=52 )

参考数学家P实际的思考方式

情形4（p=60）

P知道p=60，可能的答案有(2,30)、(3,20)、(4,15)、(5,12)及(6,10)。P知道s可能是32、23、19、17或16。

若s=32:

根据哥德巴赫猜想及其实际验证表明，至少

\scriptstyle 4\cdot 10^{14}

以下的偶数都能表示成两个质数的和，因此32可以表示为二个质数的和（(3,29)和(13,19)）。

若答案是(3,29)或(13,19)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=23:

S会猜可能答案是(2,21)、(3,20)、(4,19)、(5,18)、(6,17)、(7,16)、(8,15)、(9,14)、(10,13)及(11,12)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=19:

S会猜可能答案是(2,17)、(3,16)、(4,15)、(5,14)、(6,13)、(7,12)、(8,11)及(9,10)，其中(2,17)都是质数。

若答案是(2,17)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=17:

S会猜可能答案是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=16:

根据哥德巴赫猜想及其实际验证表明，16可以表示为二个质数的和（(3,13)和(5,11)）。

若答案是(3,13)或(5,11)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

因此若S说 “P不知道X和Y的值。”时，P可以排除(2,30), (4,15)及(6,10)，而可能答案有(3,20)及(5,12)，并不唯一。

情形5（p=66）

P知道p=66，可能的答案有(2,33)、(3,22)及(6,11)。P知道s可能是35、25或17。

若s=35:

S会猜可能答案是(2,33)、(3,32)、(4,31)、(5,30)、(6,29)、(7,28)、(8,27)、(9,26)、(10,25)、(11,24)、(12,23)、(13,22)、(14,21)、(15,20)、(16,19)及(17,18)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=25:

S会猜可能答案是(2,23)、(3,22)、(4,21)、(5,20)、(6,19)、(7,18)、(8,17)、(9,16)、(10,15)、(11,14)及(12,13)，其中(2,23)都是质数。

若答案是(2,23)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=17:

S会猜可能答案是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

因此若S说 “P不知道X和Y的值。”时，P可以排除(3,22)，而可能答案有(2,33)及(6,11)，并不唯一。

情形6（p=70）

P知道p=70，可能的答案有(2,35)、(5,14)及(7,10)。P知道s可能是37、19或17。

若s=37:

S会猜可能答案是(2,35)、(3,34)、(4,33)、(5,32)、(6,31)、(7,30)、(8,29)、(9,28)、(10,27)、(11,26)、(12,25)、(13,24)、(14,23)、(15,22)、(16,21)、(17,20)及(18,19)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=19:

S会猜可能答案是(2,17)、(3,16)、(4,15)、(5,14)、(6,13)、(7,12)、(8,11)及(9,10)，其中(2,17)都是质数。

若答案是(2,17)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=17:

S会猜可能答案是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

因此若S说 “P不知道X和Y的值。”时，P可以排除(5,14)，而可能答案有(2,35)及(7,10)，并不唯一。

情形7（p=72）

P知道p=72，可能的答案有(2,36)、(3,24)、(4,18)、(6,12)及(8,9)。P知道s可能是38、27、22、18或17。

若s=38:

根据哥德巴赫猜想及其实际验证表明，38可以表示为二个质数的和（(7,31)）。

若答案是(7,31)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=27:

S会猜可能答案是(2,25)、(3,24)、(4,23)、(5,22)、(6,21)、(7,20)、(8,19)、(9,18)、(10,17)、(11,16)、(12,15)及(13,14)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

若s=22:

根据哥德巴赫猜想及其实际验证表明，22可以表示为二个质数的和（(3,19)或(5,17)）。

若答案是(3,19)或(5,17)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=18:

根据哥德巴赫猜想及其实际验证表明，18可以表示为二个质数的和（(5,13)或(7,11)）。

若答案是(5,13)或(7,11)，P就知道正确数字了。

S不能说“P不知道X和Y的值。”

若s=17:

S会猜可能答案是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)，每组数字中都至少有一个是合数。

S可以确定P不会知道正确的数字。

S可以说“P不知道X和Y的值。”

因此若S说 “P不知道X和Y的值。”时，P可以排除(2,36)、(4,18)和(6,12)，而可能答案有(3,24)及(8,9)，并不唯一。

只有情形3最后只有一个可能答案，因此S可以确定(4,13)是正确答案。

读者如何得到答案

问题给出的条件是

X, Y 是两个整数，适合1 < X < Y，X + Y ≤ 100。（条件1）

令两数之和为s，两数之积为p。以下提到的(x,y)，都指符合条件1的一对整数x和y。

从S的第一句话，p可分解成多于一个(x,y)。而且S虽不知道p的值，但检查了s可分拆成的所有(x,y)后，其积xy都有多于一个分解符合条件1，因此S可以肯定P不知道X, Y的值。（条件2）

从P的第一句话，P知道p的值，也知道s符合条件2。检查了p可分解成的所有(x,y)，只有一个的和x + y符合条件2，所以P得到X, Y的值。（条件3）

从S的第二句话，S知道s的值，也知道P的分析，推出p符合条件3。检查了s可分拆成的所有(x,y)，只有一个的积xy符合条件3，所以S得到X, Y的值。（条件4）

按条件1，s的可能值最小是2 + 3 = 5，最大是100。以下找出s的所有符合条件2的可能值：

若(x,y)都是质数，则xy有唯一分解，故s不可分拆为（符合条件1的）质数对。排除不小于8的偶数，及2+奇质数。（按照哥德巴赫猜想，大于2的偶数都是两个质数的和，且对不太大的偶数都成立。不过6不是两个相异质数的和。）
若xy = q³，q是质数，则xy有唯一分解(q,q²)，故s不可能分拆为(q,q²)。排除6 = 2 + 2²。
若xy有大于50的质因数q，由于y < 100，因此y = q，即xy有唯一分解(x,q)，故s不可能分拆为(x,53)。排除不小于53 + 2 = 55的整数。
若xy = 2q²，q > 10是质数，由于y < 100，y不等于q²，因此xy有唯一分解(q,2q)，故s不可能为3q。排除51 = 3·17。

s的馀下的可能值为

11, 17, 23, 27, 35, 37, 41, 47, 53. (*)

以上的可能值都符合条件2：因为s是奇数，任何分拆出的(x,y)必为一个奇数a和一个偶数2b。

当b = 1时，a是合数，a ≤ 53 - 2 = 51，故有质因子q ≤ 7，xy = 2a 可分解成a/q和2q，易知其和小于100，符合条件1。
当b > 1时，

若a ≠ b，则xy = 2ab 也可分解成2a和b。因为a ≤ 53 - 4 = 49，

2a + b = a + 2b + (a - b) = s + (a - b) ≤ 53 + (49 - 2) = 100

符合条件1；

若a = b时，a是合数（a不是大于10的质数，也不是小于10的质数，因其3倍都不是s的可能值），a = s/3 ≤ 53/3 < 18，故有质因子3，则xy = 2a²也可分解成2a/3和3a，

2a/3 + 3a < 66

符合条件1。（也可直接验证，此时s的可能值是3a，而(*)中只有27是3的倍数。）

以下检查s的符合条件2的可能值，即(*)中的值，是否满足条件4：

注意到若p = 2^k q，其中q是奇质数，则p仅有一个（符合条件1的）分解2^k和q，使其和是奇数，故此若其和2^k + q符合条件2，则p满足条件3。

11可分拆成(4,7)和(8,3)，从上得知两者的积28和24都符合条件3，故11不满足条件4。

类似地，23可分拆成(4,19)和(16,7)，27可分拆成(4,23)和(8,19)，35可分拆成(4,31)和(16,19)，37可分拆成(8,29)和(5,32)，47可分拆成(4,43)和(16,31)，故23, 27, 35, 37, 47都不满足条件4。

馀下需要检查s的可能值 17, 41, 53。17可分拆成(4,13)，41可分拆成(4,37)，53可分拆成(16,37)，这些分拆的积都符合条件3。

41分拆成(2,39)，其积78分解成(6,13)，和为19；其积分解成(3,26)，和为29，都不符合条件2，故(2,39)的积符合条件3，41不满足条件4。

53分拆成(5,48)，其积240分解成(15,16)，和为31；其积分解成(3,80)，和为83，都不符合条件2，故(5,48)的积符合条件3，53不满足条件4。

检查17的各分拆：

(2,15)的积可分解为(5,6)，其和11符合条件2，故(2,15)不符合条件3。
类似地，(3,14)的积可分解为(2,21)，和为23；(5,12)的积可分解为(3,20)，和为23；(6,11)的积可分解为(2,33)，和为35；(7,10)的积可分解为(2,35)，和为37；(8,9)的积可分解为(3,24)，和为27。各积的上述另一分解的和都符合条件2，故各积都不符合条件3。

因此17分拆成(4,13)，其积才符合条件3，故17满足条件4。

由于17是(*)中唯一满足满件4的值，得出s = 17, X = 4, Y = 13。

参考

^ Hans Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Series 3, Volume 17, 1969, page 152
^ Gardner, Martin, Mathematical Games: A Pride of Problems, Including One That Is Virtually Impossible, Scientific American, December 1979, 241: 22–30 .

外部链接

Puzzles by John Burkardt
The Impossible Problem by Torsten Sillke（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Two Mathematicians Problem on mathforum（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Model Checking Sum and Product（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Survey: The Freudenthal problem and its ramifications（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] Hans Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Series 3, Volume 17, 1969, page 152

[2] Gardner, Martin, Mathematical Games: A Pride of Problems, Including One That Is Virtually Impossible, Scientific American, December 1979, 241: 22–30 .

[1]

[2]

谜题

解答

详解

数学家P和数学家S如何得到答案

数学家P

数学家S

S模拟P的想法

读者如何得到答案

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