循环小数

循环小数

	1
	7

=0.142857142857…

循环小数，也称为无限循环小数，是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数。

定义

循环小数都为有理数的小数表示形式，例：

${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}$

${1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}$

${1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}$

性质

• 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。为了证明这点，可用反证法。假设$n$的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
• 根据分数${\frac {b}{a}}$的情况分开讨论

1.除数a为$2^{m}\times 5^{n}\times K$的倍数时，$b\div a$有max(m,n)个不循环位数，其中$b$为任意自然数，$K$为非$2^{m},5^{n}$之其他数。

2.如果$1\leqslant b<a$，a不是2或5的倍数，并且a与b互质，那么存在一个正整数e，e为$b\div a$的循环节位数，而e=$\operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}$。

$10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}$表示$10^{e}-1$可以整除a，或称$10^{e}$与1同馀）

事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:${\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}$来看，$b>a$也成立，例如${\frac {2}{7}}$与${\frac {9}{7}}$，两者循环小数一致，因为${\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}$，只差别在商，馀数皆为1(同馀)故成立。

3.承接以上两点，当除数a可以质因数标准分解式表示成$(2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times$⋯$\times Pn^{Sn})$时，会有max(m,n)个不循环位数，和$E$个循环节位数。

其中，$P1^{S1}$, $P2^{S2}$,⋯,$Pn^{Sn}$分别各有e₁,e₂,...,e_n个循环节位数，存在一个最小公倍数$E=[$e₁,e₂,...,e_n$]$。

例：${\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}$的循环节个数？

答：前三位不循环（2 和 5 的最高次方为 3），循环节个数是 48（因为$3^{2}$的循环节位数为1，7的循环节位数为6，17的循环节位数为16，[1,6,16]=48）

化为分数的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未约至最简)

(⬇另一方法)

1. 先看有几位“非循环节位数（${\color {blue}n\,\!}$）”和“循环节位数（${\color {red}m\,\!}$）”，算出后，将${{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}$摆于“分母”。
2. “分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字，将其减去“非循环节部分”，即$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$，详细公式如下。
3. 公式：$0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}$
4. 原理：
   1. 令$x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$。
   2. 则$10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$──①式。
   3. $10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$──②式。
   4. ②－①⇒$\left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$。
   5. ${\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}$。
5. 范例：$0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}$。
   1. 令$x=0.1{\overline {23}}$
   2. 则$10x=1.{\overline {23}}$、$1000x=123.{\overline {23}}$
   3. 两式相减得$\left(1000-10\right)x=123-1$，$990x=122\,\!$
   4. ∴$x={\frac {61}{495}}$。

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数，$\mathbb {Q}$)转化为循环小数。

例如${\frac {3}{7}}$可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

• 使用“上横线”表示，如：

${1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}$

• 使用“上点”表示，如：

${1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}$

• 使用“大括号”表示，如：

${1 \over 70}=0.0\{142857\}$

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如$1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots$

与进位制系统密切相关

由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如：${1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}$

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}$

又或${1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}$

参见

• 0.999…
• Midy定理