狄拉克符号

狄拉克符号或狄拉克标记（英语：Dirac notation）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的态向量，定义为右矢（ket）：$|\psi \rangle$；每一个右矢的共轭转置定义为其左矢（bra）；换一种说法，右矢的厄米共轭（即取转置运算加上共轭复数运算），就可以得到左矢。

此标记法为狄拉克于1939年将“bracket”（括号）这个词拆开后所造的。在中国方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。

矩阵表示

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix}}$

$\langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}$

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：$\langle \phi |\psi \rangle$，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$ （$\delta _{ij}$为克罗内克函数）

相同的态矢量内积为：$\langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}$。

性质

因为每个右矢是复希尔伯特空间中的一个向量，而每个右矢-左矢关系是内积，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 给定任何左矢$\langle \phi |$、右矢$|\psi _{1}\rangle$以及$|\psi _{2}\rangle$，还有复数c₁及c₂，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与纯量乘法的定义，

$\langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle$。

• 给定任何右矢$|\psi \rangle$、左矢$\langle \phi _{1}|$以及$\langle \phi _{2}|$，还有复数c₁及c₂，则既然右矢是线性泛函，

${\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle$。

• 给定任何右矢$|\psi _{1}\rangle$及$|\psi _{2}\rangle$，还有复数c₁及c₂，根据内积的性质（其中c*代表c的复数共轭），

$c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$与$c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|$对偶。

• 给定任何左矢$\langle \phi |$及右矢$|\psi \rangle$，内积的一个公理性质指出

$\langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}$。

• 给定任何算符$X$、左矢$\langle \phi |$及右矢$|\psi \rangle$，它们之间的合法相乘满足乘法结合公理，例如，

$(|\omega \rangle \langle \phi |)\ |\psi \rangle =|\omega \rangle \ (\langle \phi |\psi \rangle )$、

$\langle \phi |\ (X|\psi \rangle )=(\langle \phi |X)\ |\psi \rangle$。

相关条目

• 量子态
• 内积空间
• 角动量图