氢原子的精细结构图:左边是波耳的能级线谱,中间是经过修正后,线谱的精细结构,右边是线谱的超精细结构。
在原子物理学里,因为一阶相对论性效应,与自旋-轨道耦合,而产生的原子谱线分裂,称为精细结构。
非相对论性、不考虑自旋的电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只与主量子数
有关;更精确的模型,考虑到相对论效应与自旋-轨道效应,能够分解能级的简并,使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构,精细结构是一个
效应;其中,
是原子序数,
是精细结构常数。
精细结构修正包括相对论性的动能修正与自旋-轨道修正。整个哈密顿量
是
;
其中,
是零微扰哈密顿量,
是动能修正,
是自旋-轨道修正。
相对论性修正[编辑]
经典哈密顿量的动能项目是
;
其中,
是动能,
是动量,
是质量。
可是,若加入狭义相对论的效应,我们必须使用相对论形式的动能:
;
其中,
是光速。
请注意在这方程式的右手边,平方根项目是总相对论性能量,
项目是电子的静能量。假设
,则可以用泰勒级数展开平方根项目:
。
哈密顿量的动能修正是
。
将这修正当作一个小微扰,根据量子力学的微扰理论,我们可以计算出相对论性的一阶能量修正
:
;
其中,
是主量子数,零微扰波函数
是本征能量为
的本征函数,
,精细结构常数
。
回想零微扰哈密顿量
与
的关系方程式:
。
零微扰哈密顿量等于动能加上位能
:
。
将位能移到公式右手边:
。
将这结果代入
的公式:
。
类氢原子的位能是
;其中,
是单位电荷量,
是径向距离。经过一番繁琐的运算[1]
,可以得到
,
;
其中,
是波耳半径,
是角量子数。
将这两个结果代入,经过一番运算,可以得到相对论修正:
。
自旋-轨道修正[编辑]
当我们从标准参考系(原子核的静止参考系;原子核是不动的,电子运动于它环绕著原子核的轨道)改变至电子的静止参考系(电子是不动的,原子核运动于它环绕著电子的轨道)时,我们会遇到自旋-轨道修正。在这状况,运动中的原子核有效地形成了一个电流圈,这会产生磁场
.可是,因为电子的自旋,电子自己拥有磁矩
。两个磁向量
与
共同耦合.这使得哈密顿量内,又添加了一个项目:
;
其中,
是真空电容率,
是角动量,
是自旋。
设定总角动量
。应用一阶微扰理论,由于
、
、
、
,这四个算符都互相对易。
、
、
、
,这四个算符也都互相对易。这四个算符的共同本征函数可以被用为零微扰波函数
;其中,
是总角量子数,
是自旋量子数。那么,经过一番运算,可以得到能级位移
。
相对论性修正与自旋-轨道修正的总和是
;
其中,
。
将
的这两个数值分别代入总合方程式里,经过一番运算,可以得到同样的结果:
。
总结,修正后,取至一阶,电子的总能级为,
;
其中,
是电子的基态能级,
是精细结构常数。
更精确的结果[编辑]
从狄拉克方程直接求解得到的结果是[2]:
![{\displaystyle E_{n}=-mc^{2}\left[1-\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395ad372cc6bbfc2591fbee1d3e5f00dc25b9368)
其一阶近似就是上面的结果。
参考文献[编辑]
- Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5.
外部链接[编辑]