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在离散数学中，图（Graph）是用于表示物体与物体之间存在某种关系的结构。数学抽象后的“物体”称作节点或顶点（英语：Vertex，node或point），节点间的相关关系则称作边。^[1]在描绘一张图的时候，通常用一组点或小圆圈表示节点，其间的边则使用直线或曲线。

图中的边可以是有方向或没有方向的。例如在一张图中，如果节点表示聚会上的人，而边表示两人曾经握手，则该图就是没有方向的，因为甲和乙握过手也意味着乙一定和甲握过手。相反，如果一条从甲到乙的边表示甲欠乙的钱，则该图就是有方向的，因为“曾经欠钱”这个关系不一定是双向的。前一种图称为无向图，后一种称为有向图。

图是图论中的基本概念。1878年，詹姆斯·西尔维斯特首次使用“图”这一名词：他用图来表示数学和化学分子结构之间的关系（他称为“化学图”，英语：chemico-graphical image）。^[2]^[3]

定义

在图论中，图的定义有很多。下面是一些比较基本的定义方式以及与它们相关的数学结构。

图

一张图（为了和有向图区分，也称无向图；为了和多重图区分，也称简单图）^[4]^[5]是一个二元组 $G = (V, E)$ ，其中集合 $V$ 中的元素称为节点，集合 $E$ 中的元素是两个节点组成的无序对，称为边。集合 $V$ 称为点集， $E$ 称为边集。

一条边 $\{x,y\}$ 上的两个节点 $x$ 和 $y$ 称作这条边的顶点或端点；也说这条边连接了节点 $x$ 和 $y$ ，或这条边与 $x$ 和 $y$ 关联（英语：incident）。一个节点可以不属于任何边，即它不与任何节点相连。由于 $\{x,y\}$ 是无序对， $\{x,y\}$ 和 $\{y,x\}$ 表示的是同一个元素。

更一般地，多重图的定义中允许同一对节点之间存在多条不同的边。在特定语境中，多重图也可以直接称作图。^[6]^[7]此时，在上面的定义中，集合E应该为多重集。

有时，图的定义中允许自环（简称环，英语：loop），即一条连接一个节点和其自身的边。允许自环的图也称为自环图。

点集V一般是有限集；这意味着边集E也是有限集（不考虑多重图）。相对地，无限图（英语：infinite graph）中的点集可以是无限的。然而，由于有限图中的结论大多不能延伸到无穷图，无穷图通常更被视为一种特殊的二元关系。

一个点集为空集的图称为空图（因此边集也是空集）。图的阶（英语：order）是指其中节点的数量，即 $| V |$ 。图的边数是指其边的数量，即 $| E |$ 。图的大小（size）一般也指图的边数。但在一些语境中，例如描述算法复杂度的时候，图的大小是指 $| V |+| E |$ （否则非空图的大小也有可能是0）。节点的度（英语：degree或valency）是指连接到该节点的边的数量；对于允许自环的图，环要算做两条边（因为两端都连接到这个节点）。

如果一个图的阶是 $n$ ，则其节点的度最大可能取 $n -1$ （对于允许自环的图则是 $n$ ），而边最多可能有 $n (n - 1)/2$ 条(对于允许自环的图则是 $n (n + 1)/2$ ）。

在图的定义中，边的概念定义了节点上的一个对称关系，即“邻接”关系（英语：adjacency relation）。具体地说，对于两个节点 $x$ 和 $y$ ，如果 $\{x,y\}$ 是一条边，则称它们是邻接的。一张图因此可以用其邻接矩阵A来表示，即一个 $n\times n$ 的矩阵，其中每个元素A_ij表示节点i和j之间的边的数量。对于一个简单图，总有 $A_{ij}\in \{0,1\}$ ，分别表示“不相连”和“相连”，而 $A_{ii}=0$ （即一条边的两个顶点不能相同）。允许自环的图上 $A_{ii}$ 的取值可以是非负整数，而多重图则允许任何 $A_{ij}$ 的取值都是非负整数。无向图的邻接矩阵是对称阵（ $A_{ij}=A_{ji}$ ）。

有向图

边为有方向的图称作有向图（英语：directed graph或digraph）。

有向图的一种比较严格的定义^[8]是这样的：一个二元组 $G=(V,E)$ ，其中

$V$ 是节点的集合；
$E\subseteq \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}$ 是边（也称为有向边，英语：directed edge或directed link；或弧，英语：arcs）的集合，其中的元素是节点的有序对。

为了和多重图区分，这样的有向图也称为有向简单图。

在从 $x$ 到 $y$ 的边 $(x,y)$ 上，节点 $x$ 和 $y$ 称作这条边的顶点，其中 $x$ 是起点或尾（英语：tail）， $y$ 是终点或头。^[9]也说这条边连接了节点 $x$ 和 $y$ 、这条边与节点 $x$ 和 $y$ 关联。一张有向图中的节点可以不属于任何一条边。边 $(y,x)$ 称为边 $(x,y)$ 的反向边。

节点的出度（英语：out-degree）是指起点为该节点的边的数量；节点的入度（英语：in-degree）是指终点为该节点的边的数量。

更一般地，如果一张有向图允许多条头尾都相同的边，则称这样的图为有向多重图，这样的边称为多重边。一种允许多重边的的有向图定义方法如下^[8]：一个有向图是这样的三元组 $G=(V,E,\phi )$ ：

$V$ 是节点的集合；
$E$ 是边的集合；
$\phi :E\to \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\wedge x\neq y\}$ 是一个关联函数，将每条边映射到一个由顶点组成的有序对上（即一条边被按顺序关联到两个顶点）。

自环是指一条起点和终点相同的边。前面的两个定义都不允许自环，因为若节点 $x$ 上有一个自环，则边 $(x,x)$ 存在；但这样的边不在 $\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\}$ 中。因此，如果要允许自环，则上面的定义要做修改：对于有向简单图， $E$ 的定义应该修改为 $E\subseteq \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\}$ ；对于有向多重图， $\phi$ 的定义应该修改为 $\phi :E\to \{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\}$ 。为了避免定义不清，这样的图分别称作允许自环的有向简单图或允许自环的有向多重图（英语：quiver（英语：Quiver (mathematics)））。

在允许自环的有向简单图 $G$ 中，边是一个 $V$ 上的齐次关系（英语：Binary relation#Homogeneous relation） $\sim$ ，称作 $G$ 上的邻接关系。对于顶点是 $x$ 和 $y$ 的边 $(x,y)$ ，我们说 $x$ 和 $y$ 是彼此邻接的，记作 $x\sim y$ 。

混合图

边既可以有向、也可以无向的图称作混合图。混合简单图是一个多元组G = (V, E, A)，而混合多重图则是多元组G = (V, E, A, ϕ_E, ϕ_A)，其中V、E（无向边集）、A（有向边集）、ϕ_E、ϕ_A的定义可以参考前面的无向图和有向图定义。在此定义下，有向图和无向图是混合图的特殊情况。

赋权图

赋权图（英语：weighted graph，也称加权图、网络（英语：network））^[10]^[11]是指每条边都对应有一个数字（即“权重”，weight）的图。^[12]根据具体问题，权重可以表示诸如费用、长度或容量等意义。这样的图会出现在最短路径问题和旅行商问题等问题中。

基本术语

子图（subgraph）：对于图 $G$ 和图 $G'$ ，若 $V(G')\subseteq V(G)$ 且 $E(G')\subseteq E(G)$ ，则称 $G'$ 是 $G$ 的子图。
生成子图（spanning subgraph）：指满足条件 $V(G')=V(G)$ 的 $G$ 的子图 $G'$ 。
链(chain或walk)、轨迹(trail)、路径(path)：链是顶点 $v_{i}$ 和边 $e_{i}$ 交替出现的序列 $W=v_{i_{0}}e_{i_{0}}v_{i_{1}}...e_{i_{k}}v_{i_{k}}$ 称作一个长度为k的链，其中 $v_{i_{0}}$ 和 $v_{i_{k}}$ 为其端点，其余顶点为内部点。所有边都不相同的链称为轨迹（简称迹）。所有顶点都不相同的轨迹称为路径（简称路）。在有向图中，若链（迹、路）的方向和其中每条边的方向一致，则称其为有向链（迹、路）。^[13]
两端点相同的链和迹分别称为闭链（或环，cycle）、闭迹（或回路，circuit）。
距离（Distance）：从顶点 $u$ 出发到顶点 $v$ 的最短路径若存在，则此路径的长度称作从 $u$ 到 $v$ 的距离。

特殊的图

正则图

正则图是指每个节点的邻居（英语：neighbor）数量都相同的图，即每个节点的度都相同的图。节点的度为k的正则图也称作k-正则图。

完全图

完全图（英语：complete graph）是指每对节点之间都有一条边相连的图。一张完全图包含简单图所有可能出现的边。

有限图

有限图（英语：finite graph）是指点集和边集是有限集的图。否则，则称为无限图。在不加说明的情况下，图论中讨论的图大多是有限图。

连通图

在无向图中，如果存在x和y之间的路径，则称此两节点的无序对 $\{x,y\}$ 是连通的；否则，则称此两点是非联通的。

连通图是指每对节点都连通的无向图。否则，则称图是非连通图。

在有向图中，如果存在x和y之间的有向路径，则称此两节点的有序对 $\{x,y\}$ 是强连通的。此外，若将图中的所有边都换为无向边，得到的无向图中存在x和y之间的路径，则称此两节点是弱连通的。否则，则称此两点是非联通的。

强连通图是指每对节点都强连通的有向图。此外，弱连通图是指每对节点都弱联通的有向图。否则，则称图是非连通图。

对于一张图，若不存在大小为k − 1的点集或边集，使得从图中移除该集合后，图就变为非连通图，则称该图是k-点连通图（英语：k-vertex-connected graph）或k-边连通图（英语：k-edge-connected graph）。k-点连通图通常也简称k-连通图。

二分图

二分图（英语：bipartite graph）是指这样的简单图：其点集可以被划分称两个集合W和X，其中W中的任意两个节点之间没有边相连，X中的任意两个节点之间也没有边相连。二分图是点着色色数为2的图。

若一张图的点集是两个集合W和X的无交并，使得W中的任意节点都和X中的所有节点邻接，且W或X之内没有边，则称此图是[[[完全二分图]]]。

平面图

平面图是指可以将其节点和边画在平面上，而没有两边相交的图。

循环图

阶为n≥3的循环图（英语：cycle graph）或环形图（英语：circular graph）是指其节点可以列为v₁, v₂, …, v_n，使得图中的边为 $\{v_{i},v_{i+1}\}$ ，其中i=1, 2, …, n − 1，以及 $\{v_{n},v_{1}\}$ 。循环图的另一种定义是所有点的度都为2的连通图。如果循环图是另一个图的子图，则它是那个图中的一个环。

树和森林

树是指任意两点之间都有且仅有一条路径的无向图。等价地，树是一个连通无环无向图。

森林是指任意两点之间至多仅有一条路径的无向图。等价地，森林是一个无环无向图，或一组树的无交并。

其它特殊的图

一些进阶的特殊图包括：

例子

右边的图示是一个点集为 $V=\{1,2,3,4,5,6\}$ 、边集为 $E=\{\{1,2\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,5\},\{3,4\},\{4,5\},\{4,6\}\}$ 的图。
在计算机科学中，有向图可以用于表示概念图、有限状态自动机，以及其它许多数据结构。
任意集合X上的二元关系R都可定义一个有向图。X中的元素x到y有一条边，当且仅当xRy。
有向图可以用于表示信息网络。例如，在推特上，用户之间的关注关系可以用有向图表示。^[14]^[15]

图运算

图上可以进行一些运算或变换，使一个图变为另一个图：

一元运算，将一个图变换为另一个图，例如：
- 边收缩，
- 线图，
- 对偶图，
- 补图；
二元运算，结合两个图为一个新图，例如：
- 图的无交并（英语：disjoint union of graphs），
- 图的笛卡尔乘积（英语：cartesian product of graphs），
- 图的张量积（英语：tensor product of graphs），
- 图的强乘积（英语：strong product of graphs），
- 图的字典积，
- 图的串并联（英语：series–parallel graph）等。

图的推广

在超图中，允许一条边连接多于两个节点。

无向图可以看作是由1-单纯形（边）和0-单纯形（节点）组成的单纯复形。由此，复形成为图的推广，其中允许维度更高的单纯形。

图可以看作是一种拟阵。

在模型论中，图是一个结构。这样一来，边的数量可以是任意基数。参见图极限。

在计算生物学中，幂图（英语：power graph analysis）推广了无向图的定义。

在地理信息系统中，为了进行道路网络或电网的时空分析而提出的几何网络（英语：geometric networks）的定义参考了图，并借用了许多图论的概念。

参见

参考资料

脚注

^ Trudeau, Richard J. Introduction to Graph Theory Corrected, enlarged republication. New York: Dover Pub. 1993: 19 [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. A graph is an object consisting of two sets called its vertex set and its edge set.
^
See:
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- J. J. Sylvester (1878) "On an application of the new atomic theory to the graphical representation of the invariants and covariants of binary quantics, – with three appendices," American Journal of Mathematics, Pure and Applied, 1 (1) : 64–90. doi:10.2307/2369436.
  JSTOR 2369436
  . The term "graph" first appears in this paper on page 65.
^ Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Handbook of graph theory. CRC Press. 2004: 35. ISBN 978-1-58488-090-5.
^ Bender & Williamson 2010，第148页.
^ 参见 Iyanaga and Kawada, 69 J, p. 234 or Biggs, p. 4.
^ Bender & Williamson 2010，第149页.
^ Graham et al., p. 5.
^ ^8.0 ^8.1 Bender & Williamson 2010，第161页.
^ 徐 2004，第1页.
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^ 徐 2004，第20-21页.
^ Grandjean, Martin. A social network analysis of Twitter: Mapping the digital humanities community. Cogent Arts & Humanities. 2016, 3 (1): 1171458. doi:10.1080/23311983.2016.1171458 .
^ Pankaj Gupta, Ashish Goel, Jimmy Lin, Aneesh Sharma, Dong Wang, and Reza Bosagh Zadeh WTF: The who-to-follow system at Twitter, Proceedings of the 22nd international conference on World Wide Web. doi:10.1145/2488388.2488433.

文献

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外部链接

Springer-Verlag, Heidelberg. Graph Theory. 2016 [2019-07-22]. （原始内容存档于2012-02-08）.
维基共享资源上的相关多媒体资源：图
埃里克·韦斯坦因. Graph. MathWorld.

[:0-1] Trudeau, Richard J. Introduction to Graph Theory Corrected, enlarged republication. New York: Dover Pub. 1993: 19 [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. A graph is an object consisting of two sets called its vertex set and its edge set.

[2] See:
J. J. Sylvester (February 7, 1878) "Chemistry and algebra," Nature, 17 : 284. doi:10.1038/017284a0. From page 284: "Every invariant and covariant thus becomes expressible by a graph precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph."

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[3] J. J. Sylvester (February 7, 1878) "Chemistry and algebra," Nature, 17 : 284. doi:10.1038/017284a0. From page 284: "Every invariant and covariant thus becomes expressible by a graph precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph."

[4] J. J. Sylvester (1878) "On an application of the new atomic theory to the graphical representation of the invariants and covariants of binary quantics, – with three appendices," American Journal of Mathematics, Pure and Applied, 1 (1) : 64–90. doi:10.2307/2369436.
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[3] Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Handbook of graph theory. CRC Press. 2004: 35. ISBN 978-1-58488-090-5.

[FOOTNOTEBenderWilliamson2010148-4] Bender & Williamson 2010，第148页.

[5] 参见 Iyanaga and Kawada, 69 J, p. 234 or Biggs, p. 4.

[FOOTNOTEBenderWilliamson2010149-6] Bender & Williamson 2010，第149页.

[7] Graham et al., p. 5.

[FOOTNOTEBenderWilliamson2010161-8] 8.0 ^8.1 Bender & Williamson 2010，第161页.

[FOOTNOTE徐20041-9] 徐 2004，第1页.

[10] Strang, Gilbert, Linear Algebra and Its Applications 4th, Brooks Cole, 2005, ISBN 978-0-03-010567-8

[11] Lewis, John, Java Software Structures 4th, Pearson: 405, 2013, ISBN 978-0133250121

[12] Fletcher, Peter; Hoyle, Hughes; Patty, C. Wayne. Foundations of Discrete Mathematics International student. Boston: PWS-KENT Pub. Co. 1991: 463. ISBN 978-0-53492-373-0. A weighted graph is a graph in which a number w(e), called its weight, is assigned to each edge e.

[FOOTNOTE徐200420-21-13] 徐 2004，第20-21页.

[snatwitter-14] Grandjean, Martin. A social network analysis of Twitter: Mapping the digital humanities community. Cogent Arts & Humanities. 2016, 3 (1): 1171458. doi:10.1080/23311983.2016.1171458 .

[twitterwtf-15] Pankaj Gupta, Ashish Goel, Jimmy Lin, Aneesh Sharma, Dong Wang, and Reza Bosagh Zadeh WTF: The who-to-follow system at Twitter, Proceedings of the 22nd international conference on World Wide Web. doi:10.1145/2488388.2488433.

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