WKB近似

在量子力学里，WKB近似是一种半经典计算方法，可以用来解析薛丁格方程式。乔治·伽莫夫使用这方法，首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数，重新打造为一个指数函数。然后，半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算，就会得到波函数的近似解。

简略历史

WKB近似以三位物理学家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年，他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年，数学家哈罗德·杰弗里斯就已经发展出二阶线性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一个二阶微分方程式。可是，薛丁格方程式的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时，似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时，常常会忽略了杰弗里斯所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似，在法国称为BWK近似，只有在英国称为JWKB近似。

数学概念

一般而言，WKB近似专门计算一种特殊微分方程式的近似解。这种特殊微分方程式的最高阶导数项目的系数是一个微小参数$\epsilon \,\!$。给予一个微分方程式，形式为

$\epsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0\,\!$。

假设解答的形式可以展开为一个渐近级数：

$y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!$。

将这拟设代入微分方程式。然后约去相同指数函数因子。又取$\delta \rightarrow 0\,\!$的极限。这样，就可以从$S_{0}(x)\,\!$开始，一个一个的解析这渐近级数的每一个项目$S_{n}(x)\,\!$。

通常$y(x)\,\!$的渐近级数会发散。当$n\,\!$大于某值后，一般项目$\delta ^{n}S_{n}(x)\,\!$会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差，约是最后包括项目的数量级。

数学例子

设想一个二阶齐次线性微分方程式

$\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\,\!$；

其中，$Q(x)\neq 0\,\!$。

猜想解答的形式为

$y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!$。

将猜想代入微分方程式，可以得到

$\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\,\!$。

取$\delta \rightarrow 0\,\!$的极限，最重要的项目是

${\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)\,\!$。

我们可以察觉，$\delta \,\!$必须与$\epsilon \,\!$成比例。设定$\delta =\epsilon \,\!$，则$\epsilon \,\!$的零次幂项目给出

$\epsilon ^{0}:\qquad S_{0}'^{2}=Q(x)\,\!$。

我们立刻认出这是程函方程。解答为

$S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\,\!$。

检查$\epsilon \,\!$的一次幂项目给出

$\epsilon ^{1}:\qquad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0\,\!$。

这是一个一维传输方程式。解答为

$S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln \left(Q(x)\right)+k_{1}\,\!$；

其中，$k_{1}\,\!$是任意常数。

我们现在有一对近似解（因为$S_{0}\,\!$可以是正值或负值）。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合：

$y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\,\!$。

检查$\epsilon \,\!$的更高幂项目（$n>2\,\!$）可以给出：

$2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0\,\!$。

薛丁格方程式的近似解

解析一个量子系统的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步骤：

1. 将波函数重写为一个指数函数，
2. 将这指数函数代入薛丁格方程式，
3. 展开指数函数的参数为约化普朗克常数的幂级数，
4. 匹配约化普朗克常数同次幂的项目，会得到一组方程式，
5. 解析这些方程式，就会得到波函数的近似。

一维不含时薛丁格方程式为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!$；

其中，$\hbar \,\!$是约化普朗克常数，$m\,\!$是质量，$x\,\!$是坐标，$V(x)\,\!$是位势，$E\,\!$是能量，$\psi \,\!$是波函数。

稍加编排，重写为

$\hbar ^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=2m\left(V(x)-E\right)\psi (x)\,\!$。(1)

假设波函数的形式为另外一个函数$\phi \,\!$的指数（函数$\phi \,\!$与作用量有很密切的关系）：

$\psi (x)=e^{\phi (x)/\hbar }\,\!$。

代入方程式(1)，

$\hbar \phi ''(x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$；(2)

其中，$\phi '\,\!$表示$\phi \,\!$随著$x\,\!$的导数。

$\phi '\,\!$可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数$A(x)\,\!$与$B(x)\,\!$：

$\phi '(x)=A(x)+iB(x)\,\!$。

注意到波函数的波幅是$\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]\,\!$，相位是$\int ^{x}B(x')dx'/\hbar \,\!$。将$\phi '\,\!$的代表式代入方程式(2)，分别匹配实值部分、虚值部分，可以得到两个方程式：

$\hbar A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$，(3)

$\hbar B'(x)+2A(x)B(x)=0\,\!$。(4)

半经典近似

将$A(x)\,\!$与$B(x)\,\!$展开为$\hbar \,\!$的幂级数：

$A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)\,\!$，

$B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)\,\!$。

将两个幂级数代入方程式(3)与(4)。$\hbar \,\!$的零次幂项目给出：

$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$，

$A_{0}(x)B_{0}(x)=0\,\!$。

假若波幅变化地足够慢于相位（$A_{0}(x)\ll B_{0}(x)\,\!$），那么，我们可以设定

$A_{0}(x)=0\,\!$，

$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!$。

只有当$E\geq V(x)\,\!$的时候，这方程式才成立。经典运动只会允许这种状况发生。

更精确一点，$\hbar \,\!$的一次幂项目给出：

$A_{0}'+2A_{0}A_{1}-2B_{0}B_{1}=-2B_{0}B_{1}=0\,\!$，

$B_{0}'+2A_{0}B_{1}+2B_{0}A_{1}=B_{0}'+2B_{0}A_{1}=0\,\!$。

所以，

$B_{1}=0\,\!$，

$A_{1}=-{\frac {B_{0}'}{2B_{0}}}={\frac {d}{dx}}lnB_{0}^{-1/2}\,\!$。

波函数的波幅是 $\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]={\frac {1}{\sqrt {B_{0}}}}\,\!$。

定义动量$p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!$，则波函数的近似为

$\psi (x)\approx {\cfrac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm i\int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!$；(5)

其中，$C_{+}\,\!$和$C_{-}\,\!$是常数，$x_{0}\,\!$是一个任意参考点的坐标。

换到另一方面，假若相位变化地足够慢于波幅（$B_{0}(x)\ll A_{0}(x)\,\!$），那么，我们可以设定

$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!$，

$B_{0}(x)=0\,\!$。

只有当$V(x)\geq E\,\!$的时候，这方程式才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里，才会发生这种状况，称为量子穿隧效应。类似地计算，可以求得波函数的近似为

$\psi (x)\approx {\frac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm \int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!$；(6)

其中，$p(x)={\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!$。

连接公式

显而易见地，我们可以从分母观察出来，在经典转向点$E=V(x)\,\!$，这两个近似方程式(5)和(6)会发散，无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定$x_{1}<x<x_{2}\,\!$是经典运动允许区域。在这区域内，$E>V(x)\,\!$，波函数呈振动形式。其它区域$x<x_{1}\,\!$和$x_{2}<x\,\!$是经典运动不允许区域，波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近，位势足够的光滑，可以近似为线性函数。更详细地说，在点$x_{2}\,\!$附近，将 ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\,\!$展开为一个幂级数：

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{2})+U_{2}(x-x_{2})^{2}+\cdots \,\!$；

其中，$U_{1},\,U_{2},\,\cdots \,\!$是常数值系数。

取至一阶，方程式(1)变为

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=U_{1}(x-x_{2})\psi (x)\,\!$。

这微分方程式称为艾里方程式，其解为著名的艾里函数：

$\psi (x)=C_{2A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)+C_{2B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)\,\!$。

匹配艾里函数和在$x<x_{2}\,\!$的波函数，在$x_{2}<x\,\!$的波函数，经过一番繁杂的计算，可以得到在$x_{2}\,\!$附近的连接公式（connection formula）：

$\psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {2C_{2}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x<x_{2}\\{\cfrac {C_{2}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x_{2}}^{x}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x_{2}<x\end{cases}}\,\!$ 。

类似地，也可以得到在$x_{1}\,\!$附近的连接公式：

$\psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {C_{1}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x}^{x_{1}}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x<x_{1}\\{\cfrac {2C_{1}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x_{1}<x\end{cases}}\,\!$ 。

量子化规则

在经典运动允许区域$x_{1}<x<x_{2}\,\!$内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量

$\theta _{1}=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'-{\frac {\pi }{4}}\,\!$，

$\theta _{2}=~{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\,\!$，

$\alpha =\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx/\hbar \,\!$。

那么，

$\alpha =\theta _{2}-\theta _{1}-\pi /2\,\!$，

$-C_{1}\sin \theta _{1}=C_{2}\sin \theta _{2}=C_{2}\sin(\theta _{1}+\alpha +\pi /2)\,\!$。

立刻，我们可以认定$|C_{1}|=|C_{2}|\,\!$。匹配相位，假若$C_{1}=C_{2}\,\!$，那么，

$\alpha +\pi /2=(2m-1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

所以，

$\alpha =(2m-3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

假若$C_{1}=-C_{2}\,\!$，那么，

$\alpha +\pi /2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

所以，

$\alpha =(2m-1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

总结，量子系统必须满足量子化守则：

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

范例

考虑一个量子谐振子系统，一个质量为$m\,\!$的粒子，运动于谐振位势$V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,\!$；其中，$\omega \,\!$是角频率。求算其本征能级$E_{n}\,\!$？

能量为$E\,\!$的粒子，其运动的古典转向点$x_{t}\,\!$为

$E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{t}^{2}\,\!$。

所以，

$x_{t}=\pm {\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\,\!$。

粒子的动量为

$p(x)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,\!$。

将这些变量代入量子化守则：

$\int _{-2E/m\omega ^{2}}^{2E/m\omega ^{2}}\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

经过一番运算，可以得到本征能量

$E_{n}=(n-1/2)\omega \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

借由以上之计算，发现近似解与精确解完全一样。

参阅

• 微扰理论 (量子力学)
• 量子穿隧效应
• 旧量子论

参考文献

现代文献

• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 
• Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 
• Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

历史文献

• Jeffreys, Harold. On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order. Proceedings of the London Mathematical Society. 1924, 23: 428–436 [2008-11-19]. （原始内容存档于2013-05-03）. 
• Brillouin, Léon. La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 1926, 183: 24–26. 
• Kramers, Hendrik A. Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung. Zeitschrift der Physik. 1926, 39: 828–840. 
• Wentzel, Gregor. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. Zeitschrift der Physik. 1926, 38: 518–529.