多元正態分布

多元正態分布

機率密度函數 Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector).
記號	${\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})$
參數	μ ∈ RN — 位置 Σ ∈ RN×N — 協方差矩陣 (半正定)
值域	x ∈ μ+span(Σ) ⊆ RN
機率密度函數	$(2\pi )^{-{\frac {N}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})},$ （僅當 Σ 為正定矩陣時）
累積分布函數	解析表達式不存在
期望值	μ
眾數	μ
共變異數矩陣	Σ
熵	${\frac {1}{2}}\ln((2\pi e)^{N}|{\boldsymbol {\Sigma }}|)$
動差母函數	$\exp \!{\Big (}{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}$
特徵函數	$\exp \!{\Big (}i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}$

多變量正態分布亦稱為多變量高斯分布。它是單維正態分布向多維的推廣。它同矩陣正態分布有緊密的聯繫。

一般形式

N維隨機向量$\ X=[X_{1},\dots ,X_{N}]^{T}$如果服從多變量正態分布，必須滿足下面的三個等價條件：

1. 任何線性組合$\ Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{N}X_{N}$服從正態分布。
2. 存在隨機向量$\ Z=[Z_{1},\dots ,Z_{M}]^{T}$( 它的每個元素服從獨立標準正態分布），向量$\ \mu =[\mu _{1},\dots ,\mu _{N}]^{T}$及$N\times M$ 矩陣$\ A$滿足$\ X=AZ+\mu$.
3. 存在$\mu$和一個對稱半正定陣$\ \Sigma$滿足$\ X$的特徵函數

   $\phi _{X}\left(u;\mu ,\Sigma \right)=\mathrm {e} ^{i\mu ^{T}u-{\frac {1}{2}}u^{T}\Sigma u}$

如果$\ \Sigma$是非奇異的，那麼該分布可以由以下的概率密度函數來描述：

$f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{k}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})},$

注意這裡的$|\Sigma |$表示協方差矩陣的行列式。

二元的情況

在二維非奇異的情況下（k = rank(Σ) = 2），向量 [X Y]′ 的概率密度函數為：

$f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})^{2}-2\rho ({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})+({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})^{2}\right]}$

其中 ρ 是 X 與 Y 之間的相關係數，$\sigma _{X}>0$ 且 $\sigma _{Y}>0$。在這種情況下，

${\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}\mu _{X}\\\mu _{Y}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\end{pmatrix}}.$