巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（英語：Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪諾夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。

歷史

納里奇（Narici）與貝肯斯坦（Beckenstein）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲唯一（the）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」1912年，赫利（Helly）證明，閉區間上連續函數的空間$C([a,b])$，其連續對偶空間的單位球，為弱*可數緊。1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊（他僅考慮了序列緊）。 一般情況的證明，是由列奧尼達·阿勞格魯於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。

布爾巴基-阿勞格魯定理（英語：Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布爾巴基將原定理推廣到局部凸空間的對偶拓撲的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或弱*緊定理（英語：weak-* compactness theorem），也常簡稱為阿勞格魯定理（英語：Alaoglu theorem）。

敍述

一般敍述

參見：拓撲向量空間 § 對偶空間、對偶系和極集

對於域$\mathbb {K}$上的向量空間$X$，以$X^{\#}$表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K}$所聯繫，該映射由

$\left\langle x,f\right\rangle :=f(x)$

定義。所以，三元組$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$（兩個空間及一個映射）組成對偶系，稱為典範對偶系。

若$X$進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶$X^{\prime }$為代數對偶$X^{\#}$中，連續泛函組成的子集。以$\sigma \left(X^{\#},X\right)$表示$X^{\#}$上的弱*拓撲。類似有$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$是$X^{\prime }$上的弱*拓撲。

弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射$f$和一網映射$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$，網$f_{\bullet }$在弱*拓撲中收斂至$f$，當且僅當對定義域中每點$x$，函數值組成的網$\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}$收斂到$f(x)$。

阿勞格魯定理

設$X$為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或局部凸），$X^{\prime }$為其連續對偶，則對於$X$中原點的任何鄰域$U$（$0\in U\subseteq X$），其極集

$U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',$

在$X^{\prime }$上的弱*拓撲$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$中，必為緊集。

此外，$U^{\circ }$亦是$U$相對於典範對偶系$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的極集，在拓撲空間$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$同樣為緊。

賦範特例

若$X$為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若$U$為$X$的開（或閉）單位球，則$U$的極集為連續對偶空間$X^{\prime }$的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例：

巴拿赫-阿勞格魯定理

若$X$為賦範空間，則連續對偶空間$X^{\prime }$中，算子範數的閉單位球，為弱*拓撲中的緊集。

當$X$的連續對偶$X^{\prime }$是無窮維賦範空間時，$X^{\prime }$中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見F·里斯定理）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在強拓撲中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

證明

對偶理論證明

記$X$的基域為$\mathbb {K}$，此處為實數域$\mathbb {R}$或複數域$\mathbb {C}$。證明會用到極集、對偶系、連續線性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶$X^{\#}$配備弱*拓撲$\sigma \left(X^{\#},X\right)$時，為一個豪斯多夫局部凸拓撲向量空間，記為$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$。空間$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$總是完備，但連續對偶$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$則不一定，此即證明需牽涉$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且完全有界。注意$X^{\prime }$從$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$。為驗證此事，只需檢查對每個$x^{\prime }\in X^{\prime }$，$X^{\prime }$中的網在其中一個拓撲中收斂到$x^{\prime }$，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。

三元組$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$也是對偶對（有雙線性映射$(x,f)\mapsto f(x)$），但與$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。

設$U$為$X$原點的鄰域，又設：

• $U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$為$U$相對$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的極集；
• $U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}$為$U$相對$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的二重極集；
• $U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$為$U$相對$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的極集。

極集的基本性質有$U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }$。

下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：

1. 先證$U^{\#}$在拓撲$\sigma \left(X^{\#},X\right)$中為$X^{\#}$的閉子集：設$f\in X^{\#}$，又假設$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$為$U^{\#}$中的網，在$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$中收斂到$f$。欲證$f\in U^{\#}$，即$|f(u)|\leq 1$對任意$u\in U$皆成立。因為在純量域$\mathbb {K}$中，$f_{i}(u)\to f(u)$，而每個值$f_{i}(u)$皆屬於（$\mathbb {K}$的）閉子集$\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$，故網的極限$f(u)$亦必在該子集中。於是$|f(u)|\leq 1$。
2. 其次，欲證$U^{\#}=U^{\circ }$，以推出$U^{\circ }$既是$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$的閉子集，亦是$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$的閉子集：有包含關係$U^{\circ }\subseteq U^{\#}$，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證$\,U^{\#}\subseteq U^{\circ }$，設$f\in U^{\#}$滿足$\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$，換言之線性泛函$f$在鄰域$U$上有界，而泛函有界等價於連續，故$f\in X^{\prime }$，從而$f\in U^{\circ }$，即所求證。用第1步，結合交集$U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }$在$X^{\prime }$的子空間拓撲中為閉，推得$U^{\circ }$為閉。
3. 欲證$U^{\circ }$對$X^{\prime }$的$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓撲而言是完全有界子集：由二重極集定理，$U\subseteq U^{\circ \circ }$，又因為鄰域$U$為$X$中的吸收集，$U^{\circ \circ }$亦同。可以證明，此結論推出$U^{\circ }$是$X^{\prime }$對$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$而言的有界子集。由於$X$分辨$X^{\prime }$各點，$X^{\prime }$的子集在$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$意義下有界，當且僅當在同樣意義下完全有界。所以，尤其有$U^{\circ }$在$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$意義下完全有界。
4. 欲證$U^{\circ }$亦為$X^{\#}$在$\sigma \left(X^{\#},X\right)$拓撲下的完全有界子集：已知$X^{\prime }$上，$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓撲等於$X^{\prime }$從$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出$U^{\circ }$為$X^{\#}$在$\sigma \left(X^{\#},X\right)$拓撲下的完全有界子集。
5. 最後，欲證$U^{\circ }$為$X^{\prime }$在$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓撲下的緊子集：因為$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$為完備拓撲向量空間，又$U^{\circ }$為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以$U^{\circ }$為緊。定理證畢。

較初等的證明

以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓撲空間中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見次線性泛函）。

設向量空間$X$的基域為$\mathbb {K}$，為實數系$\mathbb {R}$或複數系$\mathbb {C}$兩者之一。對任意實數$r$，以

$B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}$

表示以原點為球心，半徑為$r$的閉球。在$\mathbb {K}$中，此為緊的閉集。

極集的等價表示

由於$U$是$X$中原點的鄰域，可知$U$亦是$X$的吸收集，即對每個$x\in X$，皆有正實數$r_{x}>0$使$x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}$。以

$U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}$

表示$U$相對典範對偶系$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的極集。將證明，此極集$U^{\#}$，與定理提到，$U$相對$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的極集$U^{\circ }$，兩者相等。

$U^{\circ }\subseteq U^{\#}$成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證$U^{\#}\subseteq U^{\circ }$，設$f\in U^{\#}$滿足$\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$，即線性泛函$f$在鄰域$U$上有界。所以$f$是連續線性算子（換言之$f\in X^{\prime }$），從而有$f\in U^{\circ }$，即所求證。

至此，已證明$U^{\circ }=U^{\#}$，餘下的證明中，需理解笛卡兒積${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$與所有$X\to \mathbb {K}$的映射構成的空間$\mathbb {K} ^{X}$等同。仍需證明以下兩個命題：

1. $U^{\circ }$為$\mathbb {K} ^{X}$的閉子集。
   • 此處$\mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K}$配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。
2. $U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.$
   • 其中$B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K}$表示以原點$0$為球心，$r_{x}$為半徑的閉球。本證明開始時，對每個$x\in X$， 已定義$r_{x}$為使$x\in r_{x}U$的任意一個實數$r_{x}>0$。特別地，對於$u\in U$，可以選$r_{u}:=1$。

以上命題推出，$U^{\circ }$為${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$的閉子集，而由吉洪諾夫定理，該積空間為緊（因為每個閉球$B_{r_{x}}$皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有$U^{\circ }$為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

極集為閉

以下證明前述命題1。代數對偶$X^{\#}$總是積空間${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ 的閉子集。要證明$U^{\circ }$在$\mathbb {K} ^{X}$中為閉，祇需證明集合

${\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$

是$\mathbb {K} ^{X}$的閉子集，因為若有此結論，則${\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }$是$\mathbb {K} ^{X}$中兩閉集之交，故亦為閉集。

設$f\in \mathbb {K} ^{X}$，又設$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$為${\widetilde {U}}^{\circ }$中的網，在$\mathbb {K} ^{X}$中收斂到$f$。需要證明$f\in {\widetilde {U}}^{\circ }$。換言之，要證對每個$u\in U$，$|f(u)|\leq 1$（或等價寫成$f(u)\in B_{1}$）。由於在純量域$\mathbb {K}$中，$\left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)$，且每項$f_{i}(u)$皆屬於$\mathbb {K}$中的閉子集$B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$，此網的極限$f(u)$亦必屬於該閉集，即$f(u)\in B_{1}$。證畢命題1。

上述證明可以推廣，以論證以下命題：

設$U\subseteq X$為任意集合，$B\subseteq Y$為拓撲空間$Y$的閉子集，則在$Y^{X}$的逐點收斂拓撲中，$P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}$為閉子集。

命題1為其特殊情況，取$Y:=\mathbb {K}$和$B:=B_{1}$便得。

極集包含於緊空間之積

以下證明前述命題2。對任意$z\in X$，以${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$表示到第$z$個坐標的投影。欲證${\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$。換言之，欲對每個$x\in X$，證明$\Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}$。

於是選定$x\in X$，設$f\in U^{\circ }$；要證$\Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}$。由$r_{x}$的定義，$x\in r_{x}U$，故${\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U}$。因為$f\in U^{\circ }=U^{\#}$，線性泛函$f$滿足${\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$，所以由$u_{x}\in U$，可知

${\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.$

所以$|f(x)|\leq r_{x}$，即$f(x)\in B_{r_{x}}$，證畢命題2。

序列版本

巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空間使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：

可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列緊。

可度量

實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。

明確而言，設$X$為可分賦範向量空間，而$B$為連續對偶$X^{\prime }$中的閉單位球。根據$X$可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為$x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$。則下式定義一個度量：對於$x,y\in B$，

$\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}$

其中$\langle \cdot ,\cdot \rangle$表示$X^{\prime }$與$X$的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，$B$為序列緊之事，用類似阿爾澤拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。

由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間$X$，其對偶上有泛函$F:X^{\prime }\to \mathbb {R}$，欲求最小值，則常見策略是先構造序列$x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }$，使$F$的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列$(x_{n_{k}})_{k}$，在弱*拓撲下收斂到極限$x$，並確定$x$使$F$取最小值。最後一步通常要求$F$在弱*拓撲下為（序列）下半連續。

考慮另一個例子，設$X=C_{0}(\mathbb {R} )$為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，$X^{\prime }$為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理。

證明

下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個$x\in X$，設

$D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},$

以及

$D=\prod _{x\in X}D_{x}.$

因為$D_{x}$是複平面的緊子集，$D$在積拓撲中亦為緊（根據吉洪諾夫定理）。

$X^{\prime }$中的閉單位球$B_{1}\left(X^{\prime }\right)$，可以自然地看成$D$的子空間：考慮映射

$f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,$

其為單射，且對於$B_{1}\left(X^{\prime }\right)$的弱*拓撲和$D$的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。

欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網$D$中的網

$\left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},$

等式$g(x)=\lambda _{x}$定義的泛函$g$，也在$B_{1}(X^{\prime })$中。定理證畢。

推論

賦範空間

假設$X$為賦範空間，則其連續對偶空間$X^{\prime }$具有對偶範數。

• $X^{\prime }$中的閉單位球為弱*緊。相比之下，若$X^{\prime }$為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（F·里斯定理）。
• 某巴拿赫空間自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲$\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$下為緊。
• 若$X$為自反巴拿赫空間，則$X$中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對$X$某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用埃伯萊恩-什穆良定理。）舉例，設$X$為L^p空間$L^{p}(\mu )$，其中$1<p<\infty$。設$(f_{n})_{n}$為$X$中函數組成的有界序列。則存在子列$(f_{n_{k}})_{k}$，且有$f\in X$使得$$\int f_{n_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to \int fg\,\mathrm {d} \mu$$對於$X^{\prime }=L^{q}(\mu )$中的任意函數$g$成立，其中${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$。對於$p=1$，沒有相應的結論，因為$L^{1}(\mu )$不自反。

希爾伯特空間

• 任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱相對緊，即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。
• 由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
• 設$H$為希爾伯特空間，$B(H)$為其上有界算子的空間，則$B(H)$可以配備以下兩種不同的拓撲：一則超弱拓撲，即$B(H)$作為跡類算子空間$B_{1}(H)$的對偶所具備的弱*拓撲；二則弱算子拓撲，是使形如$T\mapsto \langle Tx,y\rangle$的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下，$B(H)$中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是，$B(H)$配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅-博雷爾性質。

與選擇公理的關係

通常，會用到吉洪諾夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是選擇公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見§ 序列版本）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，超濾子引理比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

參見

• 畢曉普-菲爾普斯定理
• 巴拿赫-馬祖爾定理
• Δ收斂
• 埃伯萊恩-什穆良定理
• 古德斯汀定理
• 詹姆斯定理
• 克列因-米爾曼定理
• 馬祖爾引理
• 拓撲向量空間——有「連續」概念的向量空間

參考資料

• Köthe, Gottfried. Topological Vector Spaces I [拓撲向量空間一]. New York: Springer-Verlag. 1969 （英語）. 見§20.9。
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar. Introduction to Functional Analysis [泛函分析導論]. Oxford: Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851485-9 （英語）.  見Theorem 23.5，p. 264。
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 （英語）. 
• Rudin, Walter. Functional Analysis [泛函分析]. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 （英語）.  見Theorem 3.15，p. 68。
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. GTM 8 Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 （英語）. 
• Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations [分析及其基礎手冊]. San Diego: Academic Press. 1997. doi:10.1016/B978-0-12-622760-4.X5000-6 （英語）. 
• Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels [拓撲向量空間、分佈、核]. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2006 [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 （英語）.