本原元定理

在數學中，本原元定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/F，E可以表示為 $F(\alpha )$ 的形式，即E可以由單個元素生成。

定理

一個有限擴張E/F有本原元，即存在 $\alpha$ 使得 $E=F(\alpha )$ ，當且僅當E和F之間只有有限個中間域。

證明

如果 $F$ 是有限域，由於 $E/F$ 是有限擴張，推得 $E$ 也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群，任取這個乘法群的一個生成元， $E$ 可以由這個生成元生成。所以在 $F$ 是有限域的情況下，定理左右兩邊恆為真。

如果 $F$ 是無限域，但是只有有限個中間域。先證明一個引理：假設 $E=F(\alpha ,\beta )$ 並且 $E$ 和 $F$ 之間只有有限個中間域，那麼存在一個 $\gamma \in E$ 使得 $E=F(\gamma )$ 。引理的證明如下：當 $c$ 取遍 $F$ 的時候，對於每一個 $c$ 可以做一個中間域 $F(\alpha +c\beta )$ 。但是由假設，只有有限個中間域，因此必定存在 $c_{1},c_{2}\in F,c_{1}\neq c_{2}$ 使得 $F(\alpha +c_{1}\beta )=F(\alpha +c_{2}\beta )$ 。由於 $\alpha +c_{1}\beta ,\alpha +c_{2}\beta$ 都在這個域裡，推得 $(c_{1}-c_{2})\beta$ 也在這個域裡。由於 $c_{1}\neq c_{2}$ ，推得 $\beta$ 在這個域裡，於是 $\alpha$ 也在這個域裡，因此 $E=F(\alpha ,\beta )\subseteq F(\alpha +c_{1}\beta )\subseteq F(\alpha ,\beta )$ ，於是 $E=F(\alpha +c_{1}\beta )$ 。引理證畢。

由於有限擴張總是有限生成的，推得 $E=F(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ （對於 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\in E$ ）。利用歸納法以及引理可以得出，如果 $E/F$ 之間只有有限個中間域，那麼 $E$ 可以由單個元素生成。

而如果 $E=F(\alpha )$ ，假設 $f(x)=irr(\alpha ,F,x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的極小多項式， $K$ 是任意一個中間域， $g_{K}(x)=irr(\alpha ,K,x)$ 是 $\alpha$ 在 $K$ 上的極小多項式。顯然 $g_{K}(x)|f(x)$ 。由於域上的多項式環是唯一分解環， $f(x)$ 只有有限個因子。而對於每一個 $g_{K}(x)|f(x)$ ，如果 $g_{K}(x)$ 寫作 $g_{K}(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{i}x^{i}$ ，並令 $K_{0}=F(c_{1},c_{2},...,c_{n})$ 。顯然 $K_{0}$ 是 $K$ 的一個子域，因此 $g_{K}(x)$ 在 $K_{0}$ 上依然是不可約的。而同時 $E=F(\alpha )=K(\alpha )=K_{0}(\alpha )$ ，因此可以得到 $[E:K]=[E:K_{0}]=deg(g_{K})=n$ 。這樣立即推 $K_{0}=K$ ，於是任何一個中間域 $K$ 對應唯一的一個 $f(x)$ 的因子 $g_{K}$ 。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的，因此中間域個數有限。證畢。