離散傅立葉級數

離散傅里葉級數（DFS）與連續傅立葉級數相比有很大的區別。最大的不同在於離散時間傅里葉級數的係數序列是周期的。

離散傅里葉級數的公式

周期為N的周期序列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其離散傅里葉級數為 $\left\{x_{k}\right\}$ ：

$x[k]=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}$

其中，DFS的逆變換序列：

$a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x[k]\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}$ （k=<N>表示對一個周期N內的值求和）

連續周期信號的離散化（下面的討論中， $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$ ）：

首先，在傅里葉級數一文中，我們知道函數 $f(t)=e^{i({\frac {2\pi }{T}})t}$ 是對於任意的T是周期為T的函數，然而其對應的離散信號則不一定是周期的，可以證明，只有當 ${\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$ 是有理數時，離散信號f[n]才是周期函數。
其次，在滿足條件1的前提下，連續周期信號 $f_{k}(t)$ 對應的離散信號 $f_{k}[n]=e^{ik({\frac {2\pi }{N}})n}$ 對k也具有周期性，其周期為N,即 $f_{k}[n]$ 中只有N個不同的序列。
從離散時間傅里葉變換的係數公式我們可以看出， $a_{k}$ 也是對k周期為N的函數。
離散傅里葉變換實際上是離散時間傅里葉級數在主值區間上的取值。我們注意到，離散傅里葉變換是對非周期函數f[n]進行的，如果我們對f[n]的定義拓廣為周期函數f'[n]： $f'[n]=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }f(n+i\cdot N)$ 。並且當 $N\to \infty$ 時，f'[n]實際上就是f[n]，那麼我們現在可以求出f'[n]的傅里葉級數。同樣，當 $N\to \infty$ 時無窮級數變成了積分，得到的結果是一個連續的周期函數 $X(e^{i\omega })$ （正如離散傅里葉變換一文中所述），這就是f[n]的離散時間傅里葉變換。這時，只需在它的主值區間上採樣，就可以得到離散傅里葉變換的變換序列。