秩 (線性代數)

在線性代數中，一個矩陣 $A$ 的列秩是列向量生成的最大線性無關組的向量個數。類似地，行秩是矩陣$A$ 的線性無關的橫行的個數。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣 $A$ 的秩（Rank）。通常表示為 $\mathrm {r} (A)$ ，$\mathrm {rank} (A)$ 或$\mathrm {rk} (A)$。

可替代定義

用行列式定義

設 $A$ 為 $m\times n$ 矩陣。若 $A$ 至少有一個 $r$ 階非零子式，而其所有 $r+1$ 階子式全為零，即矩陣的最高階非零子式的階數為r。則稱 $r$ 為 $A$ 的秩。

用向量組的秩定義

對於 $m$ 維線性空間 $V$ 中的一個向量組 $F=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}$，若 $F\supseteq S=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\}$ 中的 $r$ 個向量線性無關，且若 $r<s$，$\forall \alpha _{r+1}\in F-S$，$S\cup \{\alpha _{r+1}\}$ 中 $r+1$ 個向量都線性相關，則稱 $\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\}$ 為 $\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}$ 的極大線性無關組，$r$ 為 $\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}$ 的秩。可以證明 $F$ 的秩等於向量組 $F$ 生成的子空間的維數。 矩陣 $A$ 的列秩定義為 $A$ 的列向量組的秩，也即矩陣的列空間的維數。類似地，矩陣的行秩定義為 $A$ 的行向量組的秩，即矩陣的行空間的維數。

用線性映射定義

考慮線性映射：

$f_{A}:F^{n}\to F^{m}$

$x\mapsto A\cdot x$

對於每個矩陣 $A$，$f_{A}$ 都是一個線性映射，同時，對每個 $F^{n}\to F^{m}$ 的 線性映射 $f$，都存在矩陣 $A$使得 $f=f_{A}$。也就是說，映射

$\Phi :{\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )\to {\mathcal {L}}(F^{n},F^{m})$

$A\mapsto f_{A}$

是一個同構映射。所以一個矩陣 $A$ 的秩還可定義為 $f_{A}$ 的像的維度（像與核的討論參見線性映射）。矩陣 $A$ 稱為 $f_{A}$ 的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性映射而不需要指定矩陣，因為每個線性映射有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 $n-f$ 的核的維度；秩-零化度定理證明它等於 $f$ 的像的維度。

行秩列秩相等性

矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分。其基本證明思路是，矩陣可以看作線性映射的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。

給出這一結果的兩種證明. 第一個證明是簡短的，僅用到向量的線性組合的基本性質. 第二個證明利用了正交性. 第一個證明利用了列空間的基, 第二個證明利用了行向量空間的基. 第一個證明適用於定義在標量域上的矩陣，第二個證明適用於內積空間。二者都適用於實或復的歐氏空間，也都易於修改去證明當A是線性變換的情形.

證明一

令 $A$ 是一個 $m\times n$ 的矩陣，其列秩為 $r$ . 因此矩陣 $A$ 的列空間的維度是 $r$ . 令 $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}$ 是 $A$ 的列空間的一組基，構成 $m\times r$ 矩陣 $C$的列向量 $C=[c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}]$，並使得 $A$ 的每個列向量是 $C$的$r$ 個列向量的線性組合. 由矩陣乘法的定義，存在一個 $r\times n$ 矩陣 $R$, 使得 $A=CR$. ($A$ 的 $(i,j)$ 元素是 $c_{i}$ 與 $R$ 的第 $j$ 個行向量的點積.)

現在，由於 $A=CR$, $A$ 的每個行向量是 $R$ 的行向量的線性組合，這意味着 $A$ 的行向量空間被包含於 $R$ 的行向量空間之中. 因此 $A$ 的行秩 ≤ $R$的行秩. 但$R$僅有$r$行, 所以$R$的行秩 ≤ $r$ = $A$的列秩. 這就證明了$A$的行秩 ≤ $A$的列秩.

把上述證明過程中的「行」與「列」交換，利用對偶性質同樣可證$A$的列秩 ≤ $A$的行秩。更簡單的方法是考慮$A$的轉置矩陣$A^{\mathrm {T} }$，則$A$的列秩 = $A^{\mathrm {T} }$的行秩 ≤ $A^{\mathrm {T} }$的列秩 = $A$的行秩. 這證明了$A$的列秩等於$A$的行秩. 證畢.

證明二

令$A$是$m\times n$矩陣，其行秩是$r$. 因此$A$的行向量空間的維度是$r$，設$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r}$是$A$的行向量空間的一組基. 如果把這組基當作原像列向量看待，則向量集$Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}$是線性獨立的。 這是因為對一組標量係數$c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}$，如果:

$c_{1}Ax_{1}+c_{2}Ax_{2}+\cdots c_{r}Ax_{r}=A(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{r}x_{r})=Av=0,$

其中$v=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots ,c_{r}x_{r}$. 則可以推出有兩個事實: (a) $v$是$A$行向量空間的線性組合, 即$v$屬於$A$的行向量空間；(b) 由於$Av$ = 0, $v$正交於$A$的所有行向量，從而正交於$A$的行向量空間的所有向量. 事實(a)與(b)結合起來，則$v$正交於自身，這意味着$v$ = 0. 由$v$的定義:

$c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots ,c_{r}x_{r}=0.$

再由$x_{i}$是$A$的行向量空間的一組線性獨立的基，可知$c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{r}=0$. $Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}$因而是線性獨立的.

$Ax_{i}$是$A$的列空間中的向量. 因此$Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}$是$A$的列空間中$r$個線性獨立的向量. 所以$A$的列向量空間的維數($A$的列秩)必然不小於$r$. 這證明了$A$的行秩r ≤ $A$的列秩. 把這一結果應用於$A$的轉置矩陣可以得到: $A$的列秩 = $A^{\mathrm {T} }$的行秩 ≤ $A^{\mathrm {T} }$列秩 = $A$的行秩. 這證明了$A$的列秩等於$A$的行秩，證畢.

最後, 還可以證明rk(A) = rk(A^*), 其中A^*是A的共軛轉置或稱施密特轉置. 當A的元素都是實數, 這一結果變為rk(A) = rk(A^T). 然而對於復係數矩陣，rk(A) = rk(A^*)並不等價於行秩等於列秩, 需要用到上述兩個證明.

證明三

令A是一個m×n矩陣. 定義rk(A)為A的列秩，A^*為A的共軛轉置或稱施密特轉置. 首先可知A^*Ax = 0當且僅當Ax = 0.

A^*Ax = 0 ⇒ x^*A^*Ax = 0 ⇒ (Ax)^*(Ax) = 0 ⇒ ‖Ax‖² = 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖·‖是歐氏範數. 這說明A的零空間與A^*A的零空間相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(A) = rk(A^*A). A^*A的每一個列向量是A^*的列向量的線性組合. 所以A^*A的列空間是A^*的列空間的子空間. 從而rk(A^*A) ≤ rk(A^*). 即: rk(A) = rk(A^*A) ≤ rk(A^*). 應用這一結果於A^*可獲得不等式: 由於(A^*)^* = A, 可寫作rk(A^*) ≤ rk((A^*)^*) = rk(A). 這證明了rk(A) = rk(A^*). 證畢.

性質

我們假定A是在域F上的m × n矩陣並描述了上述線性映射。

• m × n矩陣的秩不大於m且不大於n的一個非負整數，表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為「欠秩」）的。
• 只有零矩陣有秩0
• A的秩最大為min(m,n)
• f是單射，當且僅當A有秩n（在這種情況下，我們稱A有「列滿秩」）。
• f是滿射，當且僅當A有秩m（在這種情況下，我們稱A有「行滿秩」）。
• 在方塊矩陣A (就是m = n)的情況下，則A是可逆的，當且僅當A有秩n（也就是A有滿秩）。
• 如果B是任何n × k矩陣，則AB的秩最大為A的秩和B的秩的小者。即：

  $\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} \ A,\operatorname {rank} \ B).$

  推廣到若干個矩陣的情況，就是：

  $\operatorname {rank} (A_{1}A_{2}\cdots A_{n})\leq \min(\operatorname {rank} \ A_{1},\operatorname {rank} \ A_{2},\cdots ,\operatorname {rank} \ A_{n}).$

  證明：

  考慮矩陣的秩的線性映射的定義，令A、B對應的線性映射分別為f和g，則AB表示複合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整個空間的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整個空間在映射f作用下的象的一部分。也就是說映射Im f·g是Im f的一部分。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（A）。

  對於另一個不等式：秩（AB）≤秩（B），考慮Im g的一組基：（e₁，e₂，...，e_n），容易證明（f(e₁)，f(e₂)，...，f(e_n)）生成了空間Im f·g，於是Im f·g的維度小於等於Im g的維度。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（B）。

  因此有：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B））。若干個矩陣的情況證明類似。

  作為"<"情況的一個例子，考慮積

  ${\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

  兩個因子都有秩1，而這個積有秩0。

  可以看出，等號成立當且僅當其中一個矩陣（比如說A）對應的線性映射不減少空間的維度，即是單射，這時A是滿秩的。於是有以下性質：

  • 如果B是秩n的n × k矩陣，則

    $\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$

  • 如果C是秩m的l × m矩陣，則

    $\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$

• A的秩等於r，當且僅當存在一個可逆m × m矩陣X和一個可逆的n × n矩陣Y使得

  $XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

  這裡的I_r指示r × r 單位矩陣。

  證明可以通過高斯消去法構造性地給出。

• 西爾維斯特不等式: 如果 A 是一個 m × n 的矩陣且 B 是 n × k 的, 則

  $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).$

  這是下一個不等式的特例.

• 這個不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定義, 則

  $\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).$

• 子加性：當矩陣$A$和$B$的形狀相同時，有$\operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)$ . 因此，一個秩為k的矩陣能夠表示成k個秩為1的矩陣的加和，但不能是k-1個或更少。
• 矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩-零化度定理）。
• 如果 A 是實數上的矩陣，那麼 A 的秩和它對應格拉姆矩陣的秩相等。於是，對於實矩陣

  $\operatorname {rank} (A^{T}A)=\operatorname {rank} (AA^{T})=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{T})$.

  該性質可以通過它們的零空間證明. 格拉姆矩陣的零空間由所有滿足 $A^{T}Ax=0$的向量$x$組成。如果上式成立, 那麼下式也成立： $0=x^{T}A^{T}Ax=|Ax|^{2}$，於是，$Ax=0$，即$A^{T}A$與$A$的零空間相同.

• 如果 A 是複數上的矩陣且 A* 表示 A 的共軛轉置(i.e., A 的伴隨), 則

  $\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{T})=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A).$

向量組的線性相關性

將$m$個$n$維列向量排列成$n\times m$的矩陣A，這個對應矩陣的秩即為原向量組的秩。

原向量組線性相關的充分必要條件為：

$r(A)<m$

如果

$r(A)=m$

則向量組線性無關。另外，不存在

$r(A)>m$

特殊的，若向量的個數$m$大於向量的維數$n$，則根據：

$r(A)\leq n<m$

這個向量組必然線性相關。

計算

計算矩陣A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣，由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，因此A的行階梯形矩陣有同A一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。

例如考慮4 × 4矩陣

$A={\begin{bmatrix}2&4&1&3\\-1&-2&1&0\\0&0&2&2\\3&6&2&5\\\end{bmatrix}}$

我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍，而第4縱列等於第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的，所以A的秩是2。這可以用高斯算法驗證。它生成下列A的行階梯形矩陣:

$A={\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

它有兩個非零的橫行。

在應用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解（SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。

應用

計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則該方程組有解。在這種情況下，如果它的秩等於方程的數目那麼該方程組有唯一的一個精確解。如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則方程組是不一致（Inconsistent）的。

在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。

參考文獻

• Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]

參見

• 向量組的秩