等價關係

在數學中，等價關係（英語：Equivalence relation）是具有自反性，對稱性，傳遞性的二元關係。等價關係也稱為同值關係。一些等價關係的例子包括整數集上的同餘，. 歐幾里得幾何中的等量（英語：Equipollence），以及普通的相等關係。

集合 $A$ 上的每個等價關係都提供了一個 $A$ 的劃分，將 $A$ 劃分為不相交的等價類。 $A$ 中的兩個元素等價當且僅當它們屬於同一等價類。

定義

若集合 $A$ 上的二元關係 $R$ 滿足以下條件：

則稱 $R$ 是一個定義在 $A$ 上的等價關係。習慣上會把等價關係的符號由 $R$ 改寫為 $\sim$ 。

例如，設 $A=\{1,2,\ldots ,8\}$ ，定義 $A$ 上的關係 $R$ 如下：

xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}

其中 $x\equiv y{\pmod {3}}$ 叫做 $x$ 與 $y$ 模3同餘，即 $x$ 除以3的餘數與 $y$ 除以3的餘數相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不難驗證 $R$ 為 $A$ 上的等價關係。

並非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：

Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
Robert Dilworth（英語：Robert Dilworth） and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
John Randolph Lucas（英語：John Lucas (philosopher)）, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
Raymond Wilder（英語：Raymond Wilder） (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.