閉圖像定理

閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。

敘述

設$X$，$Y$為巴拿赫空間，$T:X\to Y$為線性算子。定義$T$的圖像為$X\times Y$的子空間

$\Gamma (T)=\{(x,T(x))\in X\times Y\vert x\in X\}$。

賦予$X\times Y$範數$\|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$，使得$X\times Y$成為巴拿赫空間。那麼，這定理指$T$是連續的（與有界等價）當且僅當$\Gamma (T)$在$X\times Y$內是閉集。

證明

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

$\Gamma (T)$是閉集的充分必要條件是如果序列$\{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)$（即對任意$n$有$y_{n}=T(x_{n})$），而$(x_{n},y_{n})\to (x,y)$，那麼$(x,y)\in \Gamma (T)$，$y=T(x)$。如果$T$是連續的，從連續性立刻可知$\Gamma (T)$是閉集，因為連續性是更強的條件：如果$x_{n}\to x$，則$T(x_{n})\to T(x)$。

如果$\Gamma (T)$是閉集，可以在$\Gamma (T)$定義線性算子

$\pi _{1}:\Gamma (T)\to X,\ (x,y)\mapsto x$，

$\pi _{2}:\Gamma (T)\to Y,\ (x,y)\mapsto y$。

顯然$\|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}$，因此$\pi _{2}$是有界算子。

$\Gamma (T)$是巴拿赫空間$X\times Y$中的閉子空間，所以$\Gamma (T)$是巴拿赫空間。$X$也是巴拿赫空間，$\pi _{1}$是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆$\pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)$為有界算子。

因為$T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}$，故$T$也是有界的。

推論

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。

泛函分析中的定理

阿爾澤拉-阿斯科利定理 • 貝爾綱定理 • 巴拿赫-阿勞格魯定理 • 巴拿赫-馬祖爾定理 • 開映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米爾格拉姆定理