包絡線(Envelope)是幾何學裏的概念,代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。(曲線族即一些曲線的無窮集,它們有一些特定的關係。)
設一個曲線族的每條曲線可表示為,其中是曲線族的參數,是特定曲線的參數。若包絡線存在,它是由得出,其中以以下的方程求得:
若曲線族以隱函數形式 表示,其包絡線的隱方程,便是求下面兩個方程的解x和y之隱函數關係。
繡曲線是包絡線的例子。直線族(其中是常數,是直線族的變數)的包絡線為拋物線。[1] (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
設曲線族的每條曲線為。
設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切,對於任意的,設表示和包絡線相切的那點。由此式可見,是包絡線的變數。要求出包絡線,就即要求出。
在的切向量為,其中。
在E的切向量為。因為是和的函數,而此處,局部求導有:
類似地得 。
因為和在該點相切,因此其切向量應平行,故有
其中。可用此兩式消去。整理後得: