在R2中標準基的圖示。紅藍向量是這個基的元素。
線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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在線性代數中,基(英語:basis,又稱基底)是向量空間裏某一群特殊的向量(稱為基向量),使得向量空間中的任意向量,都可以唯一地表示成基向量的線性組合(或線性組合的極限)。
通過基底可以直接地描述向量空間
上定義的線性映射
,詳請參見線性映射#矩陣一節。
Hamel基的定義 —
是定義在域
(也就是純量的母空間,如實數系
或複數系
)上的向量空間,如果
的子集
滿足:
(也就是零向量不會在
裏)
- 若
且
,則存在唯一的一組相異向量
和唯一的一組非零純量
使得
。
則稱
是向量空間
的一組Hamel基。
裏的元素被稱為基向量 ,若基向量的總數是有限個,
則會被稱為有限基或直接簡稱為基。
上面的第二個條件,也可以等價地改寫為以下兩條[1]:
線性無關(linear independence)
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對任意相異的 和任意的 ,若 ,則
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生成律(spanning property)
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對任意 ,存在相異向量 和純量 使得
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等價性來自於線性無關:
若有第二組相異
基向量和第二組純量
也滿足
的話,把這住兩組基向量合併,並重新排列,於兩組間重複的記為
,其他不重複的部分,第一組的記為
;而第二組的記為
;然後設
於原來第一組對應的純量系數是
;原第二組則是對應
。另外
對應的純量系數則為
;
對應的純量系數則為
; 這樣把
的第一組線性組合表達式減去第二組會有
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfaadd4cf75f17c51890a350ee7b8868c1d8377)
這樣依據線性無關,就有
![{\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3655b5fa0b6cc12eb3961fa3b449256a4c13efed)
![{\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc6737056103f97e07efeaa4d68943342ec38cd)
![{\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee7c7a55a5323b47faee388adb55adf58ac3285)
這就確保任意
的線性組合表達式都是用同一組的基向量,且其純量系數也是唯一的。
除了上小節單以線性組合定義的Hamel基,也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基:
第二項條件通常會簡寫為
- 對每個
,都存在唯一組純量
,使 ![{\displaystyle v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45de73c1feb8f7378f5b3a67cf942e11de0e444a)
甚至寫為
![{\displaystyle v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0853d428bf35e9b2fea3f05e207157fd82c01bbc)
在傅立葉級數的研究中,函數
是所有的在區間[0, 2π]上為平方可積分的(實數或複數值)的函數的(實數或複數)向量空間的「正交基」,這種函數
滿足
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd774542bad1a0dcd834ac22b4968143a0c031)
函數族
是線性無關的,所有在[0, 2π]上平方可積分的函數是它們的「無限線性組合」,在如下意義上
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5a5dbd249a8a4664d0c5b91431d5c45b2f6942)
對於適合的(實數或複數)係數ak, bk。但是多數平方可積分函數不能表達為這些基函數的有限線性組合,因為它們不構成Hamel基。這個空間的所有Hamel基都大於這個函數的只可數無限集合。此類空間的Hamel基沒有什麼價值,而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。
如果基中元素個數有限,就稱向量空間為有限維向量空間,並將元素的個數稱作向量空間的維度[2]。如果原本的基底為:
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f56d99453da146f1d1060650391e3827fbaa6af)
那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質,反過來用基向量序列
來間接代表
。
事實上,不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。在現代集合論中,如果承認選擇公理,就可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組,但同一個空間的兩組不同的基,它們的元素個數或勢(當元素個數是無限的時候)會是相等的。一組基裏面的任意一部分向量都是線性無關的;反之,如果向量空間擁有一組基,那麼在向量空間中取一組線性無關的向量,一定能得到一組基。特別地,在內積向量空間中,可以定義正交的概念。通過特別的方法,可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。
設
是向量空間
的子集。則
是基,若且唯若滿足了下列任一條件:
是
的極小生成集,就是說只有
能生成
,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。
是
中線性無關向量的極大集合,就是說
在
中是線性無關(線性獨立)集合,而且
中沒有其他線性無關(線性獨立)集合包含它作為真子集。
中所有的向量都可以按唯一的方式表達為
中向量的線性組合。如果基是有序的,則在這個線性組合中的係數提供了這個向量關於這個基的坐標。
如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物,那麼作為推論,可以證明任何的向量空間都擁有一組基。(證明:良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢(元素個數),叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理,它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。
- 考慮所有坐標 (a, b)的向量空間R2,這裏的a和b都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假設v = (a, b)是R2中的向量,則v = a (1,0) + b(0,1)。而任何兩個線性無關向量如 (1,1)和(−1,2),也形成R2的一個基。
- 更一般的說,給定自然數n。n個線性無關的向量e1, e2, ..., en可以在實數域上生成Rn。因此,它們也是的一個基而Rn的維度是n。這個基叫做Rn的標準基。
- 設V是由函數et和e2t生成的實數向量空間。這兩個函數是線性無關的,所有它們形成了V的基。
- 設R[x]指示所有實數多項式的向量空間;則 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的維度的勢因此等於
.
在行向量空間
中有單位行向量
那麼在該空間中,任意向量
,都可以唯一表示成
.然後我們可以看出,
可以由它的向量子空間構成
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
.
同樣的,單位列向量就可以表達為![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
.
線性無關的單位行向量
生成
. 那麼
是
的基,稱這個基為標準基.
如上所述,一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合,同時也是極小的生成集合。可以證明,如果向量空間擁有一組基,那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基(也稱為基的擴充定理),每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地,在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說:如果
是在向量空間
中的一個線性無關集合而集合
是一個包含
而且能夠生成
的集合,則存在
的一組基
,它包含了
而且是
的子集:
。
以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度,證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的,而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度(有限維),那麼這個集合的元素個數必須等於維數,才可能是它的基。在兩者相等時,只需要證明這個集合線性無關,或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基;而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數,需要添加的元素是0個。這說明原集合就是一組基。同理,能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集;但假如這個子集是真子集,那麼元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數,也就是基的元素個數,這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。
基底是作為向量空間的子集定義的,其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論,通常會將基向量進行排列。比如說將:
寫成有序向量組:
。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中,都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用確定的數組表示,稱為向量的坐標。例如,在使用向量的坐標表示的時候習慣談論「第一個」或「第二個」坐標,這只在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下,有序基可以看作是向量空間的坐標架。
設
是在域
上的n維向量空間。在
上確定一個有序基等價於確定一個從坐標空間
到
的一個選定線性同構
。
證明:這個證明利用了
的標準基是有序基的事實。
首先假設
是線性同構。可以定義
的一組有序基
如下:
![{\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3037003471679f4f0fbc259fcecb2278ffe310a1)
其中的
是
的標準基。
反過來說,給定一個有序基,考慮如下定義的映射
- φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,
這裏的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen是Fn的一個元素。不難檢查出φ是線性同構。
這兩個構造明顯互逆。所以V的有序基一一對應於線性同構Fn → V。
確定自有序基{vi}線性映射φ的逆映射為V裝備了坐標:如果對於向量v ∈ V, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn,則aj = aj(v)的分量是v的坐標,在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意義上。
從向量v到分量aj(v)的映射是從V到F的線性映射,因為φ-1是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成V的對偶空間的基,叫做對偶基。
- ^ 柯斯特利金.代數學引論(第二版)[M]高等教育出版社:53
- ^ Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6.