無字證明

無字證明（英語：proof without words）是指僅用圖像而無需文字解釋就能不證自明的數學命題。由於其不證自明的特性，這種證明方式被認為比嚴格的數學證明更為優雅與有條理。無字證明通常只是用圖像來說明一個證明中的特例，因而需要推廣才能構成完整的證明。

奇數之和定理的無字證明

《周髀算經》中勾股定理的無字證明

延森不等式的無字證明

示例

奇數之和

從1至2n-1之間的所有奇數之和為平方數n²的無字證明如右圖所示。第一個正方形由一個方塊組成，即1為首個平方數。之後增加3個白色方塊以組成第二個正方形，總共有4個方塊，即4為第二個平方數。之後再增加5個黑色方塊組成下一個平方數9，並以此類推。

勾股定理

勾股定理可以由右邊第二張圖（出自《周髀算經》）進行證明。通過兩種不同的方法計算大的正方形的面積可以得到

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

雖然沒有上一個例子那麼明顯，但也可以看作是無字證明。

延森不等式

延森不等式可由右邊第三張圖加以證明。沿X軸的點曲線為X的假想分佈，沿Y軸的點曲線則為相應的Y的分佈。可以看到隨着X值的增大，凸映射Y(X)使得分佈不斷地「延長」。

其他範例

無字證明範例

• 
  證明$\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}$，其中$0<x<90^{\circ }$
• 
  證明二元算幾不等式${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}{}$
• 
  證明二元算幾不等式${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}{}$
• 
  證明在歐氏幾何中，任意三角形內角和為180°
• 
  證明無窮等比級數${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ={\frac {1}{3}}$

參見

• 披薩定理
• 可視化微積分（visual calculus）

參考文獻

• Dunham, William, The Mathematical Universe, John Wiley and Sons, 1974, ISBN 0-471-53656-3 
• Nelsen, Roger B., Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America: 160, 1997, ISBN 978-0-88385-700-7 
• Nelsen, Roger B., Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America: 142, 2000, ISBN 0-88385-721-9